Esiste un teorema che dice che converge nella distribuzione in una normale mentre va all'infinito?

Sia qualsiasi distribuzione con media definita, e deviazione standard, . Il teorema del limite centrale afferma che converge nella distribuzione in una distribuzione normale standard. Se sostituiamo con la deviazione standard del campione , esiste un teorema che afferma che converge nella distribuzione in una distribuzione t? Dal momento che per grandi$X$$\mu$$\sigma$

$$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{\sigma}$$ $\sigma$$S$ $$\sqrt{n}\frac{\bar{X} - \mu}{S}$$ $n$una distribuzione t si avvicina a una normale, il teorema, se esiste, può indicare che il limite è una distribuzione normale standard. Quindi, mi sembrerebbe che le distribuzioni t non siano molto utili - che siano utili solo quando è all'incirca normale. È questo il caso? $X$

Se è possibile, indichi riferimenti che contengono una prova di questo CLT quando è sostituito da ? Tale riferimento potrebbe preferibilmente utilizzare concetti di teoria delle misure. Ma qualsiasi cosa sarebbe fantastica per me a questo punto.$\sigma$$S$

Per approfondire il commento di @cardinal, prendere in considerazione un campione iid di dimensione da una variabile casuale con una certa distribuzione e momenti finiti, media e deviazione standard . Definire la variabile casuale$n$$X$$\mu$$\sigma$

$$Z_n = \sqrt {n}\left(\bar X_n -\mu\right)$$ Il teorema del limite centrale di base dice che $$Z_n \rightarrow_{d} Z \sim N(0,\sigma^2)$$

Consideriamo ora la variabile casuale dove è la deviazione standard campione di .$Y_n = \frac 1{S_n}$$S_n$$X$

Il campione è iid e quindi i momenti del campione stimano costantemente i momenti della popolazione. Così

$$Y_n \rightarrow_{p} \frac 1{\sigma}$$

Inserisci @cardinal: il teorema (o lemma) di Slutsky dice, tra l'altro, che dove è una costante . Questo è il nostro caso

$$\{Z_n \rightarrow_{d} Z, Y_n\rightarrow_{p} c\} \Rightarrow Z_nY_n\rightarrow_{d} cZ$$ $c$

$$Z_nY_n = \sqrt{n}\frac{\bar{X_n} - \mu}{S_n}\rightarrow_{d} \frac 1{\sigma}Z \sim N(0,1)$$

Per quanto riguarda l'utilità della distribuzione di Student, menziono solo che, nei suoi "usi tradizionali" relativi ai test statistici, è ancora indispensabile quando le dimensioni del campione sono veramente piccole (e ci troviamo ancora di fronte a tali casi), ma anche che ha è stato ampiamente applicato al modello di serie autoregressive con eteroschedasticità (condizionale), in particolare nel contesto dell'Economia Econometrica, dove tali dati emergono frequentemente.