Spiegazione intuitiva della stazionarietà

Stavo lottando con la stazionarietà nella mia testa per un po '... È così che ci pensi? Eventuali commenti o ulteriori pensieri saranno apprezzati.

Il processo stazionario è quello che genera valori di serie temporali in modo tale che la media di distribuzione e la varianza siano mantenute costanti. A rigor di termini, questo è noto come forma debole di stazionarietà o covarianza / stazionarietà media.

Una forma debole di stazionarietà è quando la serie temporale ha media e varianza costanti nel tempo.

In parole povere, i professionisti affermano che la serie storica stazionaria è quella senza tendenza - fluttua attorno alla media costante e presenta una varianza costante.

La covarianza tra ritardi diversi è costante, non dipende dalla posizione assoluta nelle serie storiche. Ad esempio, la covarianza tra t e t-1 (ritardo del primo ordine) dovrebbe essere sempre la stessa (per il periodo 1960-1970 uguale al periodo 1965-1975 o qualsiasi altro periodo).

Nei processi non stazionari non esiste un mezzo a lungo termine a cui la serie ritorni; quindi diciamo che serie temporali non stazionarie non significano ripristino. In tal caso, la varianza dipende dalla posizione assoluta nelle serie temporali e la varianza passa all'infinito col passare del tempo. Tecnicamente parlando, le auto-correlazioni non si deteriorano con il tempo, ma in piccoli campioni scompaiono, anche se lentamente.

Nei processi fissi, gli shock sono temporanei e si dissipano (perdono energia) nel tempo. Dopo un po ', non contribuiscono ai nuovi valori delle serie storiche. Ad esempio, qualcosa che è accaduto tempo fa (abbastanza a lungo) come la seconda guerra mondiale, ha avuto un impatto, ma, se la serie temporale di oggi è la stessa che se la seconda guerra mondiale non fosse mai avvenuta, diremmo che lo shock ha perso la sua energia o dissipato. La stazionarietà è particolarmente importante poiché molte teorie econometriche classiche derivano dai presupposti della stazionarietà.

Una forte forma di stazionarietà è quando la distribuzione di una serie temporale è esattamente lo stesso tempo di valle. In altre parole, la distribuzione delle serie storiche originali è esattamente la stessa delle serie temporali ritardate (per qualsiasi numero di ritardi) o persino dei sotto-segmenti delle serie storiche. Ad esempio, la forma forte suggerisce anche che la distribuzione dovrebbe essere la stessa anche per un sottosegmento 1950-1960, 1960-1970 o anche periodi sovrapposti come 1950-1960 e 1950-1980. Questa forma di stazionarietà si chiama forte perché non assume alcuna distribuzione. Dice solo che la distribuzione delle probabilità dovrebbe essere la stessa. In caso di debole stazionarietà, abbiamo definito la distribuzione per media e varianza. Potremmo fare questa semplificazione perché implicitamente abbiamo assunto una distribuzione normale, e la distribuzione normale è completamente definita dalla sua media e varianza o deviazione standard. Questo non è altro che dire che la misura di probabilità della sequenza (all'interno delle serie temporali) è la stessa di quella per la sequenza di valori ritardata / spostata all'interno della stessa serie temporale.

Prima di tutto, è importante notare che la stazionarietà è una proprietà di un processo, non di una serie temporale. Si considera l'insieme di tutte le serie temporali generate da un processo. Se le proprietà statistiche¹ di questo insieme (media, varianza, ...) sono costanti nel tempo, il processo è chiamato stazionario. A rigor di termini, è impossibile dire se una determinata serie temporale sia stata generata da un processo stazionario (tuttavia, con alcune ipotesi, possiamo fare una buona ipotesi).

Più intuitivamente, la stazionarietà significa che non ci sono punti distinti nel tempo per il tuo processo (influenzando le proprietà statistiche della tua osservazione). Se questo si applica a un determinato processo dipende fondamentalmente da ciò che consideri fisso o variabile per il tuo processo, ovvero da ciò che è contenuto nel tuo insieme.

Una causa tipica di non stazionarietà sono i parametri dipendenti dal tempo, che consentono di distinguere i punti temporali in base ai valori dei parametri. Un'altra causa sono le condizioni iniziali fisse.

Considera i seguenti esempi:

• Il rumore che raggiunge la mia casa da una sola macchina che passa in un determinato momento non è un processo stazionario. Ad esempio, l'ampiezza media² è massima quando l'auto è direttamente accanto a casa mia.

• Il rumore che raggiunge la mia casa dal traffico stradale in generale è un processo stazionario, se ignoriamo la dipendenza temporale dell'intensità del traffico (ad esempio, meno traffico di notte o nei fine settimana). Non ci sono più punti distinti nel tempo. Sebbene possano esserci forti fluttuazioni delle singole serie storiche, queste svaniscono quando considero l'insieme di tutte le realizzazioni del processo.

• Se includiamo gli impatti noti sull'intensità del traffico, ad es. Che c'è meno traffico di notte, il processo è di nuovo non stazionario: l'ampiezza media² varia con un ritmo giornaliero. Ogni momento nel tempo si distingue per l'ora del giorno.

• La posizione di un singolo granello di pepe in una pentola di acqua bollente è un processo stazionario (ignorando la perdita di acqua dovuta all'evaporazione). Non ci sono punti distinti nel tempo.

• $t=0$$t=0$$t=ε$$ε$

  $t>T$$T$

^{¹ Ai fini pratici, questo è talvolta ridotto alla media e alla varianza (debole stazionarietà), ma non lo considero utile per comprendere il concetto. Ignora la debole stazionarietà fino a quando non hai capito la stazionarietà.
² Qual è la media del volume, ma la deviazione standard del segnale sonoro effettivo (non preoccuparti troppo di questo qui).}

Per chiarezza, aggiungerei che qualsiasi serie temporale in cui i punti dati sono normalmente distribuiti nel tempo con una media costante e la varianza è considerata una forte serie fissa poiché, data la deviazione media e standard, la distribuzione normale avrà sempre la stessa curva di distribuzione della probabilità ( gli input all'equazione normale dipendono solo dalla media e dalla deviazione standard).

Questo non è il caso di una distribuzione t, ad esempio, in cui un input all'equazione della distribuzione t è gamma che influisce sulla forma della curva di distribuzione nonostante una media costante e una deviazione standard costante.