Come si calcolano gli effetti della precessione sulle orbite ellittiche?

La prima legge di Keplero afferma che i pianeti (e tutti i corpi celesti che orbitano attorno a un altro corpo) viaggiano in orbite ellittiche, che hanno formule ben note che rendono relativamente facile calcolare gli elementi orbitali e il comportamento associato. Tuttavia, la precessione in corso significa che l'orbita è in continua evoluzione - e quindi il pianeta non sta effettivamente viaggiando nell'ellisse su cui era originariamente impostato! È possibile calcolare la precessione e i relativi effetti ( questa domanda e risposta sono utili), ma esiste un modo per calcolare come l'orbita ellittica verrà "deformata" dalla precessione?

Un buon punto di partenza sarebbe <inserire il nome di qualche scienziato di molto tempo fa> equazioni planetarie di movimento. Ad esempio, ci sono le equazioni planetarie di Lagrange (a volte chiamate equazioni planetarie di Lagrange-Laplace), equazioni planetarie di Gauss, equazioni planetarie di Delaunay, equazioni planetarie di Hill e molte altre. Il tema comune tra queste varie equazioni planetarie è che producono le derivate temporali di vari elementi orbitali in funzione delle derivate parziali della forza perturbante / potenziale perturbante rispetto a una posizione generalizzata.

In generale, le uniche parole che possono descrivere inizialmente il risultato di questo processo sono "hot mess". Un pasticcio caldo non scoraggiava le menti brillanti di una volta. Tramite varie ipotesi semplificanti e una media dei tempi a lungo termine, hanno trovato descrizioni abbastanza semplici, ad esempio, (precessione absidale) e (precessione planare). Potete vedere un po 'di questo nell'opera 1900 citata da Hill in basso.⟨d$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Mentre queste tecniche sono vecchie, queste equazioni planetarie sono ancora utilizzate oggi. Che a volte si ottiene un "pasticcio" va bene ora che abbiamo i computer. Le persone usano equazioni planetarie abbinate a tecniche di integrazione geometrica per produrre integratori che sono veloci, precisi, stabili e conservano il momento angolare e l'energia per lunghi periodi di tempo. (Normalmente, non puoi avere tutti questi. Sei fortunato se ne ricevi solo due o tre.) Un'altra caratteristica interessante di queste equazioni planetarie è che ti permettono di vedere caratteristiche come le risonanze che altrimenti sarebbero oscurate dal vero " pasticcio "delle equazioni di moto cartesiane.

Materiale di riferimento selezionato, ordinato per data:

Hill (1900), "Sull'estensione del metodo di Delaunay nella teoria lunare al problema generale del movimento planetario", Transactions of the American Mathematical Society , 1.2: 205-242.

Vallado (1997 e successivi), "Fondamenti di astrodinamica e applicazioni", vari editori. A parte il buco nel tuo portafoglio, non puoi sbagliare con questo libro.

Efroimsky (2002), "Equazioni per gli elementi kepleriani: simmetria nascosta", Institute for Mathematics and its Applications

Efroimsky e Goldreich (2003), "Simmetria di calibro del problema del corpo N nell'approccio Hamilton-Jacobi". Journal of Mathematical Physics , 44.12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), corso di laurea sui sistemi planetari, Institute of Astronomy, Cambridge.
I risultati delle equazioni planetarie di Lagrange sono presentati nella diapositiva 6.

Ketchum et al. (2013), "Mean Motion Resonances in Exoplanet Systems: An Investigation in Nodding Behaviour". The Astrophysical Journal 762.2.

L'unica orbita ellittica veramente confocale è quella di una particella di prova legata nel potenziale centrale o, equivalentemente, quella di due masse simili a punti (con distribuzioni di massa interna sfericamente simmetriche) che si attraggono con la gravità newtoniana (e che hanno un negativo energia totale, cioè essere legati l'uno all'altro).$-k/r$

Tutto il resto è non ellittico (le orbite non legate sono paraboliche o iperboliche), ma la maggior parte delle deviazioni sono piccole. Piccole deviazioni possono derivare da una serie di fonti, tra cui termini quadrupoli nella distribuzione di massa dei corpi (in particolare il Sole), forze non gravitazionali (pressione delle radiazioni e resistenza del gas sui granelli di polvere), effetti non newtoniani (GR), perturbazioni da altri oggetti (tutti gli altri pianeti). Lo stesso Newton era ben consapevole di quest'ultimo effetto.

Se le deviazioni sono piccole, il modo tradizionale di stimarle è la teoria delle perturbazioni , in cui si integra la forza perturbatrice lungo l'orbita imperturbata (ellittica). Ad esempio, al fine di ottenere la precessione del periapse, si potrebbero integrare le modifiche al vettore di eccentricità. Una rotazione di quel vettore corrisponde alla precessione periapse. Vedi la mia risposta a questa domanda , per un esempio di quello.

David Hammen ha scritto

Le persone usano equazioni planetarie associate a tecniche di integrazione geometrica ...

Potresti anche provare (quello che chiamo) una semplice simulazione a passo finito usando le leggi di Newton per operare su masse, posizioni, velocità e accelerazioni di oggetti. Non sono sicuro che questo rientri in quelle che David chiama "tecniche di integrazione geometrica". Il mio punto è che puoi farlo senza incorporare le equazioni planetarie. Svantaggio = il simulatore "taglia gli angoli" usando approssimazioni e questo porta a comportamenti nel modello che sono artefatti. Questi svantaggi possono essere superati usando altre tecniche. Vantaggio = semplifica la progettazione del codice, evita il sospetto che le equazioni planetarie (e le loro ipotesi) stiano guidando lo spettacolo.

$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$$\approx 11.9$

Per citare Feymnan: -

Può darsi che in un ciclo di calcolo, a seconda del problema, potremmo avere 30 moltiplicazioni, o qualcosa del genere, quindi un ciclo richiederà 300 microsecondi. Ciò significa che possiamo fare 3000 cicli di calcolo al secondo. Per ottenere una precisione, diciamo, di una parte su un miliardo, avremmo bisogno di 4 × 10 ^ 5 cicli per corrispondere a una rivoluzione di un pianeta attorno al sole. Ciò corrisponde a un tempo di calcolo di 130 secondi o circa due minuti. Quindi ci vogliono solo due minuti per seguire Giove attorno al sole, con tutte le perturbazioni di tutti i pianeti corrette per una parte su un miliardo, con questo metodo!

Ma devi pensare attentamente a cosa puoi dedurre in modo affidabile dalle simulazioni - ad esempio se il tuo passo temporale è più lungo di alcune centinaia di secondi, la simulazione indicherà la precessione nella direzione opposta a quella che si verifica realmente (cioè retrograda quando dovrebbe essere progrado).