Perché per riflessi perfetti una superficie deve avere continuità G2?

Perché per riflessi perfetti una superficie deve avere continuità G2 (superficie di classe A)?

Vorrei una risposta matematica.

rendering

— valerio
fonte

Qualche contesto? O riferimento dove l'hai letto? Perché non ha senso per me. Inoltre, se non sbaglio, la continuità di Gn è definita solo per le superfici polinomiali a livello di pezzo, non vi è alcun motivo per cui una superficie sia polinomiale e in pratica la maggior parte delle superfici è lineare a livello di pezzo.

— Tom,

G2 menziona solo la derivabilità geometrica n, indipendentemente da qualsiasi parametrizzazione.

— Fabrice NEYRET,

@tom Sta parlando del design generale del surfece come nel CAD. No, non hanno bisogno di essere polinomi, ma in pratica lo sono spesso (tranne che per archi circolari e coniche)

— joojaa,

@joojaa Than Sono ancora perplesso perché l'uso della notazione speciale Gn. In matematica esiste una nozione standard di varietà differenziabile Cn. Quindi Gn e Cn sono uguali? Pensavo che il collettore Gn fosse un polinomio saggio, quindi è un collettore C-infty tranne che per le cuciture.

— Tom,

La continuità di @tom C è la continuità parametrica e G è la continuità geonetric e in questo caso la continuità su 2 geometrie separate.

— joojaa,

Risposte:

Ciò che vedi riflette la n-continuità delle normali, che sono la derivata delle posizioni. -> una superficie solo G1 avrebbe un campo normale solo G0, cioè con un improvviso cambiamento di gradiente nelle normali (e quindi i riflessi), che gli occhi possono notare. Le superfici G2 hanno campi normali G1, che sono abbastanza lisci per i tuoi occhi.

— Fabrice NEYRET
fonte

G0 Continuità significa che le superfici separate si incontrano,
G1 Continuità che le superfici si incontrano con lo stesso angolo,
G2 Continuità significa che la variazione di angolo corrisponde al punto di contatto.

Il requisito G2 non significa che la superficie sia di buona qualità. Significa solo che senza questo la superficie non avrà un flusso di riflesso continuo in modo che gli umani possano vedere la differenza. Questa potrebbe essere o meno una buona cosa dipende da cosa vuoi.

Matematicamente la normale superficie è:

$f(u,v) \frac{\partial}{\partial u} \times f(u,v) \frac{\partial}{\partial v}$

Poiché entrambi i lati sono derivati, ciò significa che il campo funzionale della normale alla superficie ha un grado in meno rispetto alla superficie originale. Quindi, affinché la riflessione sia di primo grado continua, deve avere una continuità di secondo grado.

Finora abbiamo stabilito la relazione tra la continuità della superficie e la continuità della riflessione. Finora nulla dimostra che la riflessione superficiale debba essere continua di primo grado. Per capire perché dobbiamo uscire dal regno della matematica ed entrare nel regno della biologia.

L'occhio è dotato di un algoritmo di rilevamento dei bordi a livello strutturale proprio sulla retina. Questo algoritmo di rilevamento dei bordi in sostanza funziona come una derivata discreta del segnale di ingresso. Quindi, se la tua superficie non è G2 continua, il rilevamento del bordo umano si attiva e si mostra. Per riferimenti leggi su Mach Bands e così via.

Poiché il rilevamento dei bordi è discreto, la continuità G2 non è sufficiente. Il cambiamento deve essere non solo soddisfatto localmente, ma anche soddisfatto della retina. Quindi il cambiamento dovrebbe essere ancora abbastanza superficiale da non causare problemi.

— joojaa
fonte

Che cosa significa "Il cambiamento deve essere non solo soddisfatto localmente, ma anche soddisfatto della retina", significa?

— Dan Hulme

L'occhio non sta registrando un segnale continuo. È discreto, quindi anche se la tua superficie potrebbe tecnicamente soddisfare la condizione presentata a livello matematico. Potrebbe non essere sufficiente se la spaziatura del campione dicrete non vede il cambiamento. Quindi la pendenza deve essere ancora abbastanza grande per essere notata dall'occhio umano.

— joojaa,

Sembra che tu stia dicendo che la derivata (del normale) non deve solo essere continua, ma la sua derivata deve essere al di sotto di un certo limite. Se è questo che intendi, penso che l'ultimo paragrafo della tua risposta potrebbe essere più chiaro.

— Dan Hulme

@DanHulme non è un limite al derivato, non è solo una questione di pendenza, ma l'interwall del pendio. Quindi si tratta di un campionamento discreto. Quindi un angolo molto acuto ma una piccola differenza di pendenza potrebbe sembrare continua. Allo stesso modo i continui cambiamenti in un breve interwall potrebbero sembrare netti. Non si tratta di matematica, ma di campionamento. È solo difficile da qantificare in quanto è un sistema biologico.

— joojaa,