In che modo i campioni correlati influenzano il comportamento di un renderer Monte Carlo?

La maggior parte delle descrizioni dei metodi di rendering di Monte Carlo, come la traccia del percorso o la traccia del percorso bidirezionale, presuppongono che i campioni vengano generati in modo indipendente; vale a dire, viene utilizzato un generatore di numeri casuali standard che genera un flusso di numeri indipendenti, distribuiti uniformemente.

Sappiamo che i campioni che non sono stati scelti indipendentemente possono essere utili in termini di rumore. Ad esempio, il campionamento stratificato e le sequenze a bassa discrepanza sono due esempi di schemi di campionamento correlati che quasi sempre migliorano i tempi di rendering.

Tuttavia, ci sono molti casi in cui l'impatto della correlazione del campione non è così chiaro. Ad esempio, i metodi Markov Chain Monte Carlo come Metropolis Light Transport generano un flusso di campioni correlati utilizzando una catena Markov; i metodi a molte luci riutilizzano un piccolo insieme di percorsi di luce per molti percorsi di telecamere, creando molte connessioni d'ombra correlate; anche la mappatura dei fotoni ottiene la sua efficienza dal riutilizzo di percorsi di luce attraverso molti pixel, aumentando anche la correlazione del campione (sebbene in modo distorto).

Tutti questi metodi di rendering possono rivelarsi utili in alcune scene, ma sembrano peggiorare le cose in altre. Non è chiaro come quantificare la qualità dell'errore introdotto da queste tecniche, a parte il rendering di una scena con diversi algoritmi di rendering e il bulbo oculare se uno ha un aspetto migliore dell'altro.

Quindi la domanda è: in che modo la correlazione del campione influenza la varianza e la convergenza di uno stimatore Monte Carlo? Possiamo in qualche modo quantificare matematicamente quale tipo di correlazione del campione è migliore di altri? Ci sono altre considerazioni che potrebbero influenzare se la correlazione del campione sia benefica o dannosa (ad esempio errore percettivo, sfarfallio dell'animazione)?

C'è un'importante distinzione da fare.

I metodi di Markov Chain Monte Carlo (come Metropolis Light Transport) riconoscono appieno il fatto che producono molti elementi altamente correlati, in realtà è la spina dorsale dell'algoritmo.

D'altra parte ci sono algoritmi come Tracciamento bidirezionale del percorso, Molti metodi di luce, Mappatura dei fotoni in cui il ruolo cruciale gioca il campionamento dell'importanza multipla e la sua euristica dell'equilibrio. L'ottimalità dell'euristica dell'equilibrio è dimostrata solo per campioni indipendenti. Molti algoritmi moderni hanno campioni correlati e per alcuni di essi ciò causa problemi e per alcuni no.

Il problema con campioni correlati è stato riconosciuto nel documento Connessioni probabilistiche per tracciamento bidirezionale del percorso . Dove hanno modificato l'euristica dell'equilibrio per tener conto della correlazione. Dai un'occhiata alla figura 17 nel documento per vedere il risultato.

Vorrei sottolineare che la correlazione è "sempre" negativa. Se puoi permetterti di fare un campione nuovo di zecca che farlo. Ma la maggior parte delle volte non te lo puoi permettere, quindi speri che l'errore dovuto alla correlazione sia piccolo.

Modifica per spiegare il "sempre" : intendo questo nel contesto dell'integrazione MC

Dove si misura l'errore con la varianza dello stimatore

Se i campioni sono indipendenti, il termine di covarianza è zero. I campioni correlati rendono sempre questo termine diverso da zero aumentando così la varianza dello stimatore finale.

Questo è a prima vista in qualche modo contraddittorio ciò che incontriamo con il campionamento stratificato perché la stratificazione riduce l'errore. Ma non è possibile dimostrare che il campionamento stratificato converge al risultato desiderato solo dal punto di vista probabilistico, perché nel nucleo del campionamento stratificato non vi è alcuna probabilità.

E l'accordo con il campionamento stratificato è che sostanzialmente non è un metodo Monte Carlo. Il campionamento stratificato deriva da regole di quadratura standard per l'integrazione numerica, che funziona benissimo per l'integrazione della funzione regolare in dimensioni ridotte. Questo è il motivo per cui viene utilizzato per gestire l'illuminazione diretta, che è un problema a bassa dimensione, ma la sua scorrevolezza è discutibile.

Il campionamento così stratificato presenta tuttavia un diverso tipo di correlazione rispetto ad esempio alla correlazione nei metodi Many Light.

La funzione di intensità emisferica, ovvero la funzione emisferica della luce incidente moltiplicata per il BRDF, è correlata al numero di campioni richiesti per angolo solido. Prendi la distribuzione del campione di qualsiasi metodo e confrontalo con quella funzione emisferica. Più sono simili, migliore è il metodo in quel caso particolare.

Si noti che poiché questa funzione di intensità è generalmente sconosciuta , tutti questi metodi usano l'euristica. Se vengono soddisfatti i presupposti dell'euristica, la distribuzione è migliore (= più vicina alla funzione desiderata) rispetto a una distribuzione casuale. In caso contrario, è peggio.

Ad esempio, il campionamento per importanza utilizza il BRDF per distribuire i campioni, che è semplice ma utilizza solo una parte della funzione di intensità. Una sorgente di luce molto potente che illumina una superficie diffusa ad angolo basso otterrà pochi campioni, sebbene la sua influenza potrebbe essere ancora enorme. Metropolis Light Transport genera nuovi campioni da quelli precedenti con alta intensità, il che è buono per poche fonti di luce forte, ma non aiuta se la luce arriva uniformemente da tutte le direzioni.