Hai bisogno di una fonte attendibile per la formula per la forma dell'orizzonte terrestre

Quello che sto chiedendo

Sottolineo che non sto chiedendo la formula --- conosco la formula e come derivarla. Diverse versioni diverse sono riprodotte verso la fine del post. In effetti, qualcun altro non solo l'ha derivato, ma ha anche presentato in modo piacevole una delle derivazioni qui .

Ciò di cui ho bisogno è una fonte affidabile per la formula in modo che, ad esempio, si possa metterlo su Wikipedia senza violare il divieto di riferire ricerche originali. [La gente ha effettivamente provato ... Ma l' articolo in questione ha un editore molto coscienzioso che ha cancellato la sezione sulla base del fatto che era una ricerca originale ... e, purtroppo, l'editor è corretto, quindi non ha molto senso provare per combatterlo.]

Il motivo per cui sto pubblicando in StackExchange di Computer Graphics

Dato che qualcuno qui potrebbe aver modellato il modo in cui la Terra appare in orbita, forse potrebbe sapere se questa formula (o, più probabilmente, una sua generalizzazione) è pubblicata in qualche libro, diario, atti di conferenza o appunti di lezione , eccetera.

Ho fatto il "dovuto googling"

Per favore, comprendi che non sto chiedendo a nessuno di cercare la risposta per mio conto. Ho già fatto molte ricerche su Google, e sto postando qui solo come ultima risorsa. La mia speranza (inverosimile) è che qualcuno qui conoscerà semplicemente un riferimento fin dall'inizio ; se no ... beh, spero che almeno ti sia piaciuta la bella foto qui sotto (se lo dico io stesso, con piena consapevolezza sto parlando con le persone interessate alla computer grafica di tutte le cose) prima di passare a più grande e migliore cose.

Due fonti che si avvicinano

1. DK Lynch, "Discernere visivamente la curvatura della Terra", Applied Optics vol. 47, H39 (2008). È disponibile gratuitamente qui . Sfortunatamente, invece di farlo nel modo giusto (che non è poi così difficile), l'autore ha optato per un hack, che (a) non capisco completamente e (b) che non è d'accordo con quello che so essere la formula corretta.

2. R. Hartley e A. Zisserman, Geometria a vista multipla in Computer Vision, 2a ed. (Cambridge University Press, Cambridge UK, 2004). Nel sec. 8.3, "Azione di una telecamera proiettiva sulla quadrica", leggiamo :

Supponiamo che la quadrica sia una sfera, quindi il cono di raggi tra il centro della videocamera e la quadrica è circolare, cioè il generatore di contorni è un cerchio, con il piano del cerchio ortogonale alla linea che unisce i centri della videocamera e della sfera. Questo può essere visto dalla simmetria rotazionale della geometria attorno a questa linea. L'immagine della sfera si ottiene intersecando il cono con il piano dell'immagine. È chiaro che questa è una sezione conica classica, quindi il contorno apparente di una sfera è una conica.

In linea di principio, questo sarebbe esattamente ciò che è necessario, se solo un po 'più informazioni fossero incluse --- almeno un'espressione per l'eccentricità della conica in funzione della distanza dalla sfera e del raggio della sfera (nel caso quando il piano dell'immagine è perpendicolare a una generatrice del cono, come nel caso in cui la telecamera a foro stenopeico è diretta in un punto all'orizzonte).

Dettagli sulla formula per la quale ho bisogno di un riferimento accademico

Assumiamo una Terra perfettamente sferica, perfettamente liscia, senza atmosfera. Puntiamo una fotocamera a foro stenopeico idealizzata all'orizzonte e, usando una proiezione centrale semplice, calcoliamo la forma dell'immagine dell'orizzonte sul retro della fotocamera (cioè la forma che avrà sul film --- il "piano del film") . Ecco un elemento grafico (realizzato in Asymptote , per chi è interessato) che dovrebbe rendere questo più chiaro:

Come abbiamo visto sopra, l'immagine dell'orizzonte è una porzione di una sezione conica. Sia l'eccentricità della conica; la derivazione che ho menzionato sopra usa invece un parametro , che è solo l'eccentricità inversa: . L'eccentricità stessa è data come , dove è il rapporto tra l'altitudine del foro stenopeico sopra la superficie della Terra e della Terra raggio . [Invece di usare , che è il rapporto tra altitudine e , può essere utile usare$\varepsilon$$k$ε = 1 / $k=1/\varepsilon$ ϵ=h/RhRϵRηh+Rη=(R+h)/$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$, il rapporto tra la distanza del foro stenopeico dal centro della Terra , , e il raggio della Terra: . In termini di , abbiamo .]$h+R$η ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

La distanza dal foro stenopeico (punto nel grafico) al piano del film è considerata pari a un'unità di lunghezza.$P$

L' asse nel piano del film è scelto per essere parallelo alla linea che unisce il centro della Terra (non mostrato nell'immagine) e il punto sull'orizzonte (etichettato nell'immagine) a cui la fotocamera è addestrata. Questa scelta è ben definita perché la linea deve essere parallela al piano del film. La ragione di ciò è che sia il che il piano del film sono perpendicolari alla linea di vista (la linea che unisce e ). E questo perché 1. la linea è tangente alla Terra in , quindi perpendicolare a , e 2.C $y$$C$$V$C V P V P V P V V C V P V V x y $CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$$CV$$PV$è perpendicolare al piano del film perché la fotocamera è addestrato a . Il asse è naturalmente perpendicolare asse e si trova nel piano della pellicola, e l'origine viene scelto come proiezione del punto .$V$$x$$y$$V$

Con queste definizioni fuori mano, siamo pronti a scrivere una rappresentazione della sezione conica che è l'immagine dell'orizzonte terrestre. Questo può essere scritto in molti modi, alcuni dei quali sono riportati di seguito. Ciò di cui ho bisogno è un riferimento affidabile per una qualsiasi di queste formule o per una formula equivalente ad esse.

1. La formula esplicita fornita nella derivazione sopra menzionata

La derivazione che ho menzionato sopra dà questo come versione finale:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Rappresentiamo questo in un paio di modi aggiuntivi.

2. Espressione in termini di equazione canonica di una sezione conica

In questo caso, l'equazione assume la forma seguente :

$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$ ,

dove, nel nostro caso, .$\mu=\varepsilon$

Il vantaggio della forma canonica è che può gestire tutte le coniche su un piano di parità, compreso in particolare il caso della parabola, . Nella formulazione `` standard '' (vedi sotto), il caso della parabola può essere affrontato solo portando il limite .ε → $\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

Dettagli: la formula sopra riportata vale nel caso di un cono circolare destro, i cui lati sottendono un angolo di , essendo intersecati --- a una distanza dal vertice del cono --- da un piano ad angolo rispetto all'asse del cono. (Per chiarire: è la distanza dal vertice del cono al punto sull'ellisse che è il più vicino al vertice del cono; quel punto è sempre una delle estremità dell'asse maggiore dell'ellisse). In questo caso generale, l'eccentricità è data come , mentre .$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

In termini del grafico sopra: è la distanza da al piano del film (cioè la distanza lungo la linea rossa tratteggiata); è l'angolo tra la linea rossa tratteggiata e l'asse del cono (che è la linea che unisce e il centro della Terra --- l'estensione della linea nera etichettata nel grafico); l'angolo è l'angolo tra l'asse del cono e il piano del film.$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

Dato che il piano del film è perpendicolare alla linea rossa tratteggiata, abbiamo ; inoltre, prendiamo , che quindi insieme danno quel .$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Espressione in termini di `` forma standard '' di una sezione conica

Questo modulo è forse il più familiare:

$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$ .

È correlato ai parametri che entrano nell'equazione canonica (vedi 2., sopra) come segue:

$x_{0}=0$ ;

$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$ (che è nel nostro caso, nota che deriva dal fatto che l'ellisse passa attraverso l'origine); e$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$ (che è nel nostro caso).$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

È ovvio che il caso parabolico, , creerà problemi; come menzionato sopra, quel caso deve essere trattato prendendo il limite .$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. Espressione in termini di curva parametrica

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

dove è la longitudine di un punto all'orizzonte, definito in modo che corrisponda al punto nell'immagine sopra (cioè al punto in cui viene addestrata la camera stenopeica).α = π / 2 $\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

Per come si potrebbero usare queste formule, vedere questo .

In conclusione...

Qualcuno ha visto le formule di cui sopra in una fonte attendibile, forse nel contesto di modellare come la Terra appare dallo spazio? Se è così, potresti farmi sapere quale fosse questa fonte?

Grazie!

La curva che stai cercando è solo l'intersezione di un piano (la parte posteriore della telecamera) e un cono circolare destro. Questa non è davvero una domanda sulla terra, o viste dei pianeti dallo spazio; è semplicemente una semplice geometria delle coordinate 3D. Per trovare un riferimento, consiglierei di cercare "intersezione di un piano e un cono" o "sezione piana di un cono", o "sezione piana di quadric", qualcosa del genere.

Mi aspetto che tu possa trovare le formule (e le derivazioni) pertinenti in qualsiasi testo standard sulla geometria delle coordinate 3D. Alcuni posti probabili sono:

• Salmone - Un trattato sulla geometria analitica di tre dimensioni
• Somerville - Geometria analitica di tre dimensioni
• Snyder e Sisam - Geometria analitica dello spazio

Questi sono tutti libri piuttosto vecchi e potresti avere difficoltà a trovarli.

Potresti anche provare a chiedere su Math.StackExchange.

Chiamare la derivazione "ricerca originale" mi sembra assurdo. È un problema dei compiti delle scuole superiori nella geometria analitica.