Come funziona una trasformata di Fourier 2D di un'immagine?

Capisco come una trasformata di Fourier 1D separa un segnale nelle sue frequenze componenti, ma ho difficoltà a capire come una trasformata di Fourier 2D influenza un'immagine 2D.

Da un'altra domanda , John Calsbeek si è collegato a un articolo interessante sulla misurazione della qualità delle funzioni del rumore . Ciò ha mostrato varie funzioni di rumore e la trasformata di Fourier di ciascuna.

Si tratta di una trasformazione discreta dei dati pixel o di una trasformazione continua della funzione di interpolazione continua che viene utilizzata per generare il rumore in punti arbitrari?

La forma anulare è analoga al prendere trasformazioni 1D di Fourier della linea attraverso il centro dell'immagine ad ogni angolo possibile? Oppure la trasformazione per ogni possibile angolo viene misurata anche attraverso l'intero spazio 2D anziché solo lungo una linea attraverso il centro? Sto cercando di avere un'idea intuitiva di quali cambiamenti nell'immagine di input corrispondono a quali cambiamenti nella trasformata di Fourier.

Una trasformazione di Fourier 2D viene eseguita prima eseguendo una trasformata di Fourier 1D su ciascuna riga dell'immagine, quindi prendendo il risultato e facendo una trasformazione di Fourier 1D su ogni colonna. O vice versa; non importa.

Proprio come una trasformata di Fourier 1D consente di scomporre una funzione in una somma di onde sinusoidali (1D) a varie frequenze, una trasformata di Fourier 2D decompone una funzione come una somma di onde sinusoidali 2D. Queste onde possono avere frequenze diverse lungo gli assi xey. Generalmente hanno la forma:

dove e sono le frequenze lungo il ed assi. Questi due valori formano un vettore chiamato vettore d'onda. Nel dominio spaziale, l'onda è orientata lungo il con una frequenza lungo il suo asse di .$k_x$$k_y$$x$$y$$(k_x, k_y)$$\sqrt{k_x^2 + k_y^2}$

Proprio come per la trasformata di 1D Fourier, esistono versioni sia discrete che continue. Il risultato di una trasformata di Fourier 2D discreta è una matrice di ampiezze complesse per un insieme di valori discreti . Questo è comunemente visualizzato (come nel documento a cui si è collegati) come un'immagine in cui il pixel alle coordinate rappresenta l'ampiezza di quel vettore d'onda.$(k_x, k_y)$$(k_x, k_y)$

Quindi, una forma anulare in una trasformata di Fourier 2D indica l'invarianza rotazionale della distribuzione delle frequenze (cioè altrettanta ampiezza per le onde in ogni direzione), con una gamma ristretta di magnitudini (dall'interno dell'annulus verso l'esterno). In altre parole, il documento sta usando la trasformata di Fourier per dimostrare che il loro rumore è ragionevolmente isotropo e limitato dalla banda.