Perché P e P / poly non sono banalmente la stessa cosa?

La definizione di P è un linguaggio che può essere deciso da un algoritmo temporale polinomiale. La definizione di P / poly può essere intesa come un linguaggio che può essere deciso da un circuito di dimensioni polinomiali (vedi http://pages.cs.wisc.edu/~jyc/02-810notes/lecture09.pdf ). Ora, perché non è possibile simulare un circuito di dimensioni polinomiali in tempo polinomiale?

Il punto sui circuiti è che un circuito ha un numero fisso di ingressi. Ciò significa che, per definire una lingua, abbiamo bisogno di una famiglia di circuiti $C_0, C_1, C_2, \dots$ tale che il circuito  $C_i$ ti dice quali stringhe di lunghezza  $i$ sono nella lingua, per ciascuna  $i$ . Ciò non richiede che vi sia alcuna relazione tra i circuiti $C_i$ e  $C_{i+1}$ : potrebbero essere completamente diversi. In particolare, per qualsiasi set  $S\subseteq\mathbb{N}$ , è possibile impostare dichiarare $C_i=\mathrm{true}$ se$i\in S$ e$C_i=\mathrm{false}$ per$i\notin S$ . Anche se$S$  è indecidibile!

Al contrario, una lingua è in  $\mathrm{P}$ se esiste una singola macchina di Turing che ti dice se ogni possibile input di ogni possibile lunghezza è nella lingua. Ora, non puoi giocare a giochi divertenti sugli input di diverse lunghezze.

Hai ragione che siamo in grado di valutare qualsiasi circuito fissato in  $\mathrm{P}$ . Ma questo non è necessariamente sufficiente per decidere una lingua in $\mathrm{P/poly}$ . Per fare questo, avremo bisogno per calcolare la lunghezza dell'input, quindi utilizzare tale per determinare quale circuito  $C_i$ bisogna valutare, e quindi valutare il circuito. Come mostra l'esempio sopra, la parte "determina quale circuito" potrebbe non essere nemmeno calcolabile, e tanto meno calcolabile in tempo polinomiale.