"Oggetto raggiungibile" è davvero un problema NP-completo?

Stavo leggendo questo articolo in cui gli autori spiegano il Teorema 1, in cui si afferma che "Oggetto raggiungibile" (come definito nel documento) è NP-completo. Tuttavia, dimostrano la riduzione solo in una direzione, ovvero da 2P1N SAT a Oggetto raggiungibile. Questo dimostra solo che il problema è NP-difficile; non è necessario dimostrare la direzione inversa (2P1N rispetto all'oggetto raggiungibile) per dimostrare la completezza NP?

— Infinito
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Gli autori non hanno dimostrato che il problema risieda in NP, hanno solo affermato che lo fa (e che è facile dimostrarlo). Hanno dimostrato durezza NP.

— Lucertola discreta

Voglio solo che tu sappia che il simbolo è \in, no \epsilon.

— Alice Ryhl,

Risposte:

Un problema è NP completo se: $P$

$P$ è NP-difficile e
$P \in \textbf{NP}$ .

Gli autori forniscono una prova del numero dell'articolo 1. L'articolo numero 2 è probabilmente evidente (e dovrebbe essere chiaro al pubblico del documento). Per la prova dell'articolo numero 1, è necessaria solo una riduzione (molte) da un problema NP completo (ad es. SAT) a ; non è necessario costruire una riduzione nella direzione opposta. $P$

— dkaeae
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Nel caso in cui qualcuno sia ancora confuso, 2 è banale perché essere in NP significa che puoi rapidamente (tempo polinomiale) verificare una soluzione al problema. Qui, una soluzione può essere verificata semplicemente eseguendo gli swap come indicato nella soluzione e verificando che si raggiunga l'oggetto desiderato.

— Steven Waterman,

@StevenLowes L'unica cosa che dovresti ancora verificare è che il numero di swap richiesti è polinomiale. Anche questo non è così difficile da vedere, come spiego nella mia risposta.

— Lucertola discreta

Avevo letto male la carta e ho pensato che non fosse possibile per una sequenza richiedere più di N scambi - hai ragione :)

— Steven Waterman,

@StevenLowes: Beh, sarebbe anche meglio (espressibile come) un problema decisionale. Ci sono problemi NP-difficili che non sono affatto problemi di decisione, che ovviamente non saranno in NP, non importa quanto siano facili da "verificare".

— Kevin,

Gli autori affermano che è facile dimostrare che il problema risiede nella NP. Per provare questa affermazione, prendere una sequenza di swap che porta a uno stato come testimone che lo stato è raggiungibile. Data una tale sequenza di dimensioni polinomiali, possiamo verificare in tempo polinomiale che lo stato è effettivamente raggiungibile eseguendo gli swap.

Ciò che resta da mostrare è che esiste una sequenza di swap con dimensioni polinomiali. Si noti che poiché ogni agente ha preferenze rigorose e si scambia solo se può effettuare uno scambio che gli conferisce un oggetto migliore, ogni agente può scambiare al massimo volte. Poiché vi sono al massimo agenti, ogni sequenza di swap ha al massimo swap. $n$ $n$ $n^2$

Penso che se ci fossero preferenze non rigide, potrebbe essere possibile che alcuni elementi debbano spostarsi attraverso lunghi cicli per raggiungere determinati stati, e che in particolare esistano stati in cui tutte le sequenze di swap hanno dimensioni esponenziali. Tuttavia, non riesco a pensare a un esempio immediato di tale problema. Almeno, non è più "facile" mostrare che il problema con preferenze non rigide è in NP.

— Lucertola discreta
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