Prova di contraddizione per disuguaglianza di P e NP?

Sto cercando di sostenere che N non è uguale a NP usando i teoremi della gerarchia. Questa è la mia tesi, ma quando l'ho mostrato al nostro insegnante e dopo aver dedotto, ha detto che questo è problematico dove non riesco a trovare un motivo convincente per accettare.

Iniziamo assumendo che $P=NP$ . Quindi produce quella $\mathit{SAT} \in P$ che a sua volta segue quella . Allo stato attuale, siamo in grado di ridurre ogni lingua in a . Pertanto, . Al contrario, il teorema della gerarchia temporale afferma che dovrebbe esserci una lingua , che non è in . Questo ci porterebbe a concludere che è in , mentre non in $\mathit{SAT} \in TIME(n^k)$ $NP$ $\mathit{SAT}$ $NP \subseteq TIME(n^k)$ $A \in TIME(n^{k+1})$ $TIME(n^k)$ $A$ $P$ $NP$ , che è in contraddizione con la nostra prima ipotesi. Quindi, siamo giunti alla conclusione che . $P \neq NP$

C'è qualcosa che non va nella mia prova?

complexity-theory time-complexity p-vs-np

— inverted_index
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Per favore, scrivi qualcosa di simile $\mathit{SAT}$ invece di $SAT$ . Come ha scritto Leslie Lamport nel suo libro LaTeX originale, quest'ultimo sta per S volte A volte T.

— Oliphaunt - ripristina Monica il

Meglio ancora, usa il complexitypacchetto e scrivi semplicemente \SAT. (Immagino che non sia disponibile su questo stack, però.)

— Oliphaunt - ripristina Monica il

@Oliphaunt Perché non suggerire una modifica quando puoi migliorare il post? Anche se devo dire che qui la differenza (se presente) è molto più sottile di quanto mi aspetto.

— Lucertola discreta

@Discretelizard Lo faccio spesso, ma questa volta è stato "troppo lavoro" (ero / sono sul cellulare). Inserire tutti quei $ e \ è un lavoro schizzinoso. Ho scelto di educare invece. (Questa decisione potrebbe non essere stata del tutto razionale.)

— Oliphaunt - ripristina Monica il

Risposte:

Quindi produce quella $SAT \in P$ che a sua volta segue quella $SAT \in TIME(n^k)$ .

Sicuro.

Come stand, siamo in grado di fare di ridurre tutte le lingue in $NP$ a $SAT$ . Pertanto, $NP \subseteq TIME(n^k)$ .

No. Le riduzioni dei tempi polinomiali non sono gratuite. Possiamo dire che ci vuole tempo $O(n^{r(L)})$ per ridurre la lingua da $L$ a $SAT$ , dove $r(L)$ è l'esponente nella riduzione del tempo polinomiale utilizzata. Qui è dove la tua discussione cade a pezzi. Non esiste un $k$ finito tale che per tutti $L \in NP$ abbiamo $r(L) < k$ . Almeno questo non segue da $P = NP$ e sarebbe una dichiarazione molto più forte.

E questa affermazione forte effettivamente conflitto con il teorema di gerarchia temporale, che ci dice che $P$ non può collassare in $TIME(n^k)$ , per non parlare di tutti $NP$ .

— orlp
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Non è solo il momento della riduzione stessa. Si potrebbe ridurre a un problema più grande. Se riesco a risolvere X in O (n ^ 5) e posso ridurre un problema in Y in O (n ^ 6) a un'istanza di X di dimensioni O (n ^ 3), allora ho bisogno di O (n ^ 15) in totale.

— gnasher729,

In modo divertente, questo argomento si applica anche ai problemi completi di PTIME, ad esempio HORNSAT, che è risolvibile in tempo lineare (ma non tutti i problemi in P sono tempi lineari).

— cody

Supponiamo che $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{NTIME}[n^k]$ . Dalla versione non deterministica del teorema della gerarchia temporale, per ogni $r$ , esiste un problema $X_r\in\mathrm{NTIME}[n^r]$ che non si trova in $\mathrm{NTIME}[n^{r-1}]$ . Questo è un risultato incondizionato che non dipende da alcun tipo di ipotesi come $\mathrm{P}\neq\mathrm{NP}$

Scegli qualsiasi $r>k$ . Supponiamo di avere una riduzione deterministica da $X_r$ a $\mathrm{3SAT}$ che corre nel tempo $n^t$ . Produce un $\mathrm{3SAT}$ istanza di dimensioni al massimo $n^t$ , che può essere risolto in tempo al massimo $(n^t)^k=n^{tk}$ . Con la nostra scelta di $X_r$ , dobbiamo avere $tk>r-1$ , quindi $t>(r+1)/k$ . Questa funzione cresce senza limiti con $r$ .

Questo significa che non v'è alcun vincolati da quanto tempo si può prendere per ridurre un arbitrario $\mathrm{NP}$ problema $\mathrm{3SAT}$ . Anche se $\mathrm{3SAT}\in \mathrm{P}$ , non c'è ancora alcun limite a quanto tempo possono impiegare tali riduzioni. Quindi, in particolare, anche se $\mathrm{3SAT}\in\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ per alcuni $k'$ , non possiamo concludere che $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k'}]$ , o anche $\mathrm{NP}\subseteq\mathrm{DTIME}[n^{k''}]$ per alcuni $k''>k'$ .

— David Richerby
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