Esistono più $O$ -Notations, come $O(n)$ o $O(n^2)$ e così via. Mi chiedevo se ci sono variazioni di quelli nella realtà come $O(2n^2)$ o $O(\log n^2)$ , o se quelli sono matematicamente errati.

O sarebbe giusto dire che è possibile migliorare una $O(5n^2)$ a una $O(3n^2)$ ? Non riesco e non ho ancora bisogno di capire i tempi di esecuzione e non ho bisogno di migliorare nulla, ma avrei bisogno di sapere se in questo modo descrivi le tue funzioni nella realtà.

Mi chiedevo se ci sono variazioni di quelli nella realtà come $O(2n^2)$ o $O(\log (n^2))$ , o se quelli sono matematicamente errati.

Sì, $O(2n^2)$ o $O(\log (n^2))$ sono variazioni valide.

Tuttavia, li vedrai raramente se li vedessi affatto, specialmente nei risultati finali. Il motivo è che $O(2n^2)$ è $O(n^2)$ . Allo stesso modo, $O(\log (n^2))$ è $O(\log n)$ . Potrebbe essere sorprendente per i principianti. Tuttavia, queste uguaglianze sono più o meno la vera ragione per cui sono state introdotte grandi annotazioni $O$ , per nascondere un fattore costante moltiplicativo che è spesso difficile da definire e relativamente insignificante.

Sarebbe una cosa giusta dire che è possibile migliorare una $O(5n^2)$ a una $O(3n^2)$ ?

Non è affatto un miglioramento se la complessità temporale di un algoritmo viene cambiata da $O(5n^2)$ a $O(3n^2)$ o da $\Omega(5n^2)$ a $\Omega(3n^2)$ , perché $O(5n^2)$ è $O(3n^2)$ mentre $\Omega(5n^2)$ è $\Omega(3n^2)$ . Quindi non è corretto affermare che la complessità temporale è migliorata da$O(5n^2)$ a$O(3n^2)$ . È corretto affermare che la complessità temporale di un algoritmo è migliorata da$5n^2$ a$3n^2$ , ovviamente.

Esercizio 1. Mostra che $O(5n^2)=O(3n^2)=O(n^2)$ .

Esercizio 2. Mostra che $O(\log n)=O(\log (n^2))$ .

Esercizio 3. Mostra che $\Omega(n^2+n)=\Omega(n^2)$ .

Sei sempre libero di non usare affatto questa notazione. Cioè, puoi determinare una funzione $f(n)$ nel modo più preciso possibile, quindi provare a migliorarla. Ad esempio, potresti avere un algoritmo di ordinamento che esegue confronti $f(n)$ , quindi potresti provare a trovare un altro algoritmo di ordinamento che esegue solo confronti $g(n)$ . Naturalmente, tutti i tipi di funzioni $f(n)$ esistono (in teoria) e possono anche emergere (in pratica).

Invece di considerare la notazione Big Oh come una magia misteriosa in cui devi consultare i maghi per chiederti se puoi fare qualcosa, dovresti guardare alla sua definizione . Rispetta la definizione, quindi fai tutto il necessario per svolgere il tuo lavoro.

Mentre la risposta accettata è abbastanza buona, non tocca ancora il vero motivo per cui $O(n) = O(2n)$ .

La notazione Big-O descrive la scalabilità

Alla base, Big-O Notation non è una descrizione di quanto tempo impiega un algoritmo a funzionare. Né è una descrizione di quanti passaggi, righe di codice o confronti fa un algoritmo. È molto utile quando usato per descrivere come un algoritmo si ridimensiona con il numero di input.

Prendi una ricerca binaria, per esempio. Dato un elenco ordinato, come trovi un valore arbitrario al suo interno? Bene, potresti iniziare da metà. Dal momento che l'elenco è ordinato, il valore medio ti dirà in quale metà dell'elenco si trova il tuo valore target. Quindi l'elenco che devi cercare è ora diviso a metà. Questo può essere applicato in modo ricorsivo, quindi andando al centro del nuovo elenco e così via fino a quando la dimensione dell'elenco è 1 e non hai trovato il tuo valore (o non esiste nell'elenco). Raddoppiare la dimensione dell'elenco aggiunge solo un ulteriore passaggio all'algoritmo, che è una relazione logaritmica. Quindi questo algoritmo è $O(\log n)$. Il logaritmo è di base 2, ma non importa: il nocciolo della relazione è che la moltiplicazione dell'elenco per un valore costante aggiunge solo un valore costante al tempo.

Contrastare una ricerca standard attraverso un elenco non ordinato - l'unico modo per cercare un valore in questo caso è quello di controllare ognuno. Lo scenario peggiore (che è ciò che Big-O implica specificamente) è che il tuo valore è proprio alla fine, il che significa che per un elenco di dimensioni $n$ , devi controllare $n$ valori. Raddoppiare la dimensione dell'elenco raddoppia il numero di volte che è necessario verificare, che è una relazione lineare. $O(n)$ . Ma anche se si dovessero eseguire due operazioni su ciascun valore, alcune elaborazioni, ad esempio, la relazione lineare è ancora valida. $O(2n)$ semplicemente non è utile come descrittore, poiché descriverebbe esattamente la stessa scalabilità di $O(n)$ .

Apprezzo che molte di queste risposte ti stiano sostanzialmente dicendo di arrivare a questa conclusione da solo leggendo la definizione di Big-O. Ma questa comprensione intuitiva mi ha preso un po 'di tempo per avvolgere la mia testa e così te la spiego nel modo più chiaro possibile.

Puoi scrivere $O(f)$ per qualsiasi funzione $f$ ed ha perfettamente senso. Come da definizione, $g(n)=O(f(n))$ se esiste una costante  $c$ tale che $g(n)\leq c\,f(n)$ per tutti abbastanza grandi $n$ . Nulla in quella definizione dice che$f$ deve essere una sorta di "bella" funzione.

Ma, come hanno indicato altre risposte, $g(n)=O(f(n))$ e $g(n)=O(2f(n))$ descrivono esattamente la stessa situazione: se $g(n)\leq c\,f(n)$ per tutti$n$ abbastanza grandi , quindi abbiamo anche$g(n)\leq \tfrac{c}{2}2f(n)$, quindi$g(n)=O(2f(n))$, anche (prendendo la costante come$c/2$).

Come problema secondario, non scrivere " $\log n^2$ ", perché non è chiaro al 100% cosa significhi. Si potrebbe dire che ovviamente significa $\log(n^2)$ ma quasi tutti lo scriverebbero come $2\log n$ , quindi mette in dubbio il lettore.

Inoltre, nota che la notazione big- $O$ non ha nulla a che fare con i tempi di autonomia di per sé . È solo una notazione per le relazioni tra le funzioni. Queste funzioni sono spesso utilizzate per misurare i tempi di esecuzione degli algoritmi, ma questa è solo un'applicazione, proprio come misurare l'altezza delle persone è solo un'applicazione di numeri.

Guarda la definizione di O (f (n)) e vedi che ad esempio O (2n ^ 2) e O (n ^ 2) sono esattamente gli stessi. Cambiare un algoritmo da 5n ^ 2 a 3n ^ 2 è un miglioramento del 40 percento. Cambiare da O (5n ^ 2) a O (3n ^ 2) non è in realtà alcun cambiamento, sono gli stessi.

Ancora una volta, leggi la definizione di O (f (n)).

$O(f(n)) = \lbrace g(n) | \exists n,c>0: \forall m > n: c\times g(m) \le f(m)\rbrace$

$=$$\in$

$O(n) = O(2n)$ Or that constant factors don't matter when defining the Big O.