Si può mostrare la durezza NP mediante riduzioni di Turing?

Nell'articolo Complexity of the Frobenius Problem di Ramírez-Alfonsín, è stato dimostrato che un problema era NP-completo utilizzando le riduzioni di Turing. È possibile? Come esattamente? Pensavo che ciò fosse possibile solo in tempi polinomiali con una riduzione. Ci sono riferimenti a riguardo?

Esistono due diverse nozioni di durezza NP, anche completezza NP? Ma poi sono confuso, perché da un punto di vista pratico, se voglio dimostrare che il mio problema è NP-difficile, quale uso?

Hanno iniziato la descrizione come segue:

Una riduzione di Turing del tempo polinomiale da un problema ad un altro problema P 2 è un algoritmo A che risolve P 1 usando un'ipotetica subroutine A 'per risolvere P 2 tale che, se A' fosse un algoritmo di tempo polinomiale per P 2, allora A sarebbe un algoritmo temporale polinomiale per P 1 . Diciamo che P 1 può essere ridotto di Turing a P 2 .$P_1$$P_2$$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$$P_1$$P_2$

Un problema è chiamato (Turing) NP-hard se c'è un problema decisionale NP completo P 2 tale che P 2 può essere Turing ridotto a P 1 .$P_1$$P_2$$P_2$$P_1$

E poi usano una tale riduzione di Turing da un problema NP completo per mostrare la completezza NP di qualche altro problema.

Esistono (almeno) due diverse nozioni di durezza NP. La nozione di consueto, che utilizza le riduzioni Karp, afferma che un linguaggio è NP-difficile, se tutte le lingue NP-Karp si riduce a L . Se cambiamo le riduzioni di Karp in riduzioni di Cook, otteniamo un'idea diversa. Ogni lingua che è Karp-NP-difficile è anche Cook-NP-difficile, ma il contrario è probabilmente falso. Supponiamo che NP è diverso da CONP, e prendere il tuo preferito NP-completo linguaggio L . Quindi il complemento di L è Cook-NP-hard ma non Karp-NP-hard.$L$$L$$L$$L$

Il motivo per cui è Cook-NP-hard è il seguente: prendere qualsiasi lingua M in NP. Poiché L è NP-hard, esiste una funzione polytime f tale che x ∈ M sse f ( x ) ∈ L sse f ( x ) ∉ ¯ L . Una riduzione Cook da M a ¯ L prende x , calcola f ( x ) , controlla se f ( x ) ∈ $\overline{L}$$M$$L$$f$$x \in M$$f(x) \in L$$f(x) \notin \overline{L}$$M$$\overline{L}$$x$$f(x)$ e genera il contrario.$f(x) \in \overline{L}$

Il motivo per cui non è NP-difficile (supponendo che NP sia diverso da coNP) è il seguente. Supponiamo che ¯ L fosse NP-difficile. Poi per ogni lingua M in CONP, v'è una riduzione polytime f tale che x ∈ ¯ M sse f ( x ) ∈ ¯ L , o in altre parole, x ∈ M sse f ( x ) ∈ L . Poiché L è in NP, questo dimostra che M è in NP, e quindi coNP $\overline{L}$$\overline{L}$$M$$f$$x \in \overline{M}$$f(x) \in \overline{L}$$x \in M$$f(x) \in L$$L$$M$$\subseteq$NP. Ciò implica immediatamente che NP coNP, e quindi NP = coNP.$\subseteq$

Se alcuni Cook-NP-hard linguaggio è in P, allora P = NP: per qualsiasi lingua M in NP, usano la riduzione Cook a L per dare un algoritmo polytime per M . Quindi, in questo senso, anche le lingue complete di Cook-NP sono "le più difficili in NP". D'altra parte, è facile vedere che Cook-NP-hard = Cook-CONP-hard: una riduzione Cuocere per L può essere convertito in una riduzione cuocere per ¯ L . Quindi perdiamo un po 'di precisione usando le riduzioni di Cook.$L$$M$$L$$M$$L$$\overline{L}$

Probabilmente ci sono altre carenze nell'uso delle riduzioni di Cook, ma lo lascerò ad altri risponditori.

Va bene. Una riduzione di Turing a tempo polinomiale è una riduzione di Cook (come nel teorema di Cook-Levin) e la riduzione di un problema NP completo al nuovo problema dà durezza NP (così come una riduzione polinomiale-tiem, riduzione AKA Karp). In effetti, le riduzioni di Karp sono comunque limitate dalle riduzioni di Turing.

Dove differiscono (per quanto riguarda questa domanda) è nel mostrare l'adesione. Una riduzione di Karp da un problema a un problema in NP mostra che il primo è in NP. Una riduzione di Cook nella stessa direzione no.