Complessità dei poteri della matrice di calcolo

Sono interessato a calcolare il $n$ 'esima potenza di un matrice . Supponiamo di avere un algoritmo per la moltiplicazione di matrici che gira in tempo . Quindi, si può facilmente calcolare in tempo. È possibile risolvere questo problema in una minore complessità temporale? $n\times n$ $A$ $\mathcal{O}(M(n))$ $A^n$ $\mathcal{O}(M(n)\log(n))$

Le voci della matrice possono, in generale, provenire da un semiring, ma puoi assumere una struttura aggiuntiva se ti aiuta.

Nota: capisco che nel calcolo generale in tempo darebbe un algoritmo per esponenziazione. Tuttavia, un certo numero di problemi interessanti si riduce al caso speciale dell'espiazione della matrice in cui m = , e non sono stato in grado di dimostrare lo stesso riguardo a questo problema più semplice. $A^m$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log m)$ $\mathcal O(n)$

— Shitikanth
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quali sono le voci della matrice? Interi?

— Kaveh,

Le voci possono, in generale, provenire da un semiring ma è possibile assumere una struttura aggiuntiva se aiuta.

— Shitikanth,

Non ho potuto ottenere una riduzione dalla multiplazione alla quadratura dal metodo sopra proposto (ovvero utilizzando

). Tuttavia, l'utilizzo di

funziona. Tuttavia, ciò fornisce solo un

sul calcolo

(A \pm B)^{2}

$(A\pm B)^2$

{(\begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array})}^{2}

$\left( \begin{array}{cc} 0 & A \\ B & 0 \end{array} \right)^2$

Ω (M (n))

$\Omega(M(n))$

A^{n}

$A^n$

— Shitikanth,

Risposte:

Se la matrice è diagonalizzabile poi prendendo la esima potenza può essere fatto in tempo , dove è il momento di diagonalizzare . $n$

O (D (n) + n \log n)

$O(D(n)+ n\log n)$

D (n)

$D(n)$

A

$A$

Solo per completare i dettagli, se con una diagonale , quindi $A=P^{-1}DP$ $D$

A^{n} = (P^{- 1} D P)^{n} = P^{- 1} D^{n} P

$A^n = (P^{-1}DP)^n = P^{-1}D^nP$

e può essere calcolato solo prendendo ogni elemento della diagonale (ogni autovalore di ) al esima potenza. $D^n$ $A$ $n$

— Suonò.
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Anche se la matrice è diagonale, gli algoritmi più noti per la composizione elettronica richiedono tempo

. Utilizzando l'algoritmo Coppersmith-Winograd, abbiamo già un algoritmo

per il calcolo

O (n^{3})

$O(n^3)$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

— Shitikanth,

(1) Il tempo che citi non è di Coppersmith-Winograd (come probabilmente saprai). (2) Tutti gli algoritmi di quella forma funzionano solo per gli anelli; non funzionano per le semirazioni generali (come consenti nella tua domanda).

— Ryan Williams,

$n\times n$ $A$ $A=U\Sigma U^T$ $\Sigma$ $O(n^3)$ $A^m = U \Sigma^m U^T$ $O(n\log m)$ $U \times \Sigma^m \times U^T$ $O(n^{2.3727})$ $O(n^3 + n \log m)$

$O(n^{2.3727}+n \log m)$ $o(M(n)\log(m))$ $o(\log n)$

— PKG
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O (n^{2.3727})

$O(n^{2.3727})$

O (n^{2.3727} \log (m))

$O(n^{2.3727}\log(m))$

A^{m}

$A^m$

m = O (n)

$m=O(n)$

A = U Σ U^{⊤}

$A = U \Sigma U^\top$

V \neq U^{⊤}

$V \ne U^\top$

n

$n$

m

$m$

n = 1

$n=1$

O (M (1) \log m

$O(M(1)\log m$

A^{m}

$A^m$

\log m

$\log m$

Questo non era chiaro dalla tua domanda, come affermato.

— PKG