Dimostrare completezza NP nel decidere la soddisfacibilità della formula booleana monotona

Sto cercando di risolvere questo problema e sto davvero lottando.

Una formula booleana monotona è una formula nella logica proposizionale in cui tutti i letterali sono positivi. Per esempio,

$\qquad (x_1 \lor x_2) \land (x_1 \lor x_3) \land (x_3 \lor x_4 \lor x_5)$

è una funzione booleana monotona. D'altra parte, qualcosa del genere

$\qquad (x_1 \lor x_2 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_3) \land (\neg x_1 \lor x_5)$

non è una funzione booleana monotona.

Come posso dimostrare la completezza NP per questo problema:

Determinare se una funzione booleana monotona è soddisfacente se variabili o meno sono impostate su ? $k$ $1$

Chiaramente, tutte le variabili potrebbero essere impostate come positive, ed è banale, quindi è per questo che c'è il vincolo di variabili impostate positivamente. $k$

$\neg x_1$ $z_1$ $x_1$ $z_1$

complexity-theory np-complete satisfiability

— nat
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Benvenuto! Prestare maggiore attenzione alla lingua e alla formattazione.

— Raffaello

Risposte:

$k$

La restrizione alle formule monotone è in realtà sorprendentemente facile da dimostrare per la durezza, devi solo fare qualcosa al di fuori dei problemi di soddisfacibilità per un momento. Invece di provare a modificare un'istanza SAT, iniziamo invece con Dominating Set (DS).

Vedi se riesci a prenderlo da lì. Altro è negli spoiler, suddivisi in pezzi, ma evitali se puoi. Non mostrerò l'appartenenza a NP, non dovresti avere problemi con quello.

$(G, k)$ $k$ $G$ $(\phi,k)$ $\phi$

La costruzione di base:

$v\in V(G)$ $v' \in \text{var}(\phi)$ $v \in V(G)$ $c_{v} = \bigvee_{u\in N(v)} u'$

Uno schizzo della prova:

$k$ $k$ $\phi$ $k$ $c_{v}$ $v$

— Luke Mathieson
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Wow, questo ha molto più senso, grazie! Penso di essere stato sicuramente coinvolto nel tentativo di ridurre il SAT fino alla formula monotona booleana.

— nat

Sto anche vedendo che possiamo anche ridurre la copertura del vertice fino alla formula booleana monotona.

— nat

k

$k$

Penso che esattamente lo stesso approccio funzioni con la copertura verticale.

— Haskell Fun,

@HaskellFun, ci ho pensato anche io. La copertina del vertice è la stessa del Min-W2SAT monotono.

— rus9384,

$z_i$ $\neg x_i$ $\phi$ $\phi'$ $\neg x_i$ $z_i$ $x_i \vee z_i$ $k$ $\phi'$ $\phi$ $k$ $x_i \vee z_i$ $\phi'$ $k$ $k$

— david
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