I limiti di runtime sono decidibili per qualcosa di non banale?

Problema   Dato una macchina di Turing che ha un tempo di esecuzione noto O ( g ( n ) ) rispetto alla lunghezza di ingresso n , il tempo di esecuzione di M ∈ O ( f ( n ) ) ?$M$${O}(g(n))$$n$$M \in {O}(f(n))$

È il problema di cui sopra decidibile per alcune coppie non banali di ed f ? Una soluzione è banale se g ( n ) ∈ O ( f ( n ) ) .$g$$f$$g(n) \in O(f(n))$

Ciò è legato al problema I limiti di runtime in P sono decidibili? (risposta: no) . Si può ricavare dalla risposta di Viola che se e f ( n ) ∉ O ( g ( n ) ) allora il problema è indecidibile.$f(n)\not \in o(n)$$f(n)\not \in O(g(n))$

Il requisito che sia dovuto al fatto che M ′ nella dimostrazione di Viola ha bisogno di tempo O ( n ) per trovare la sua dimensione di input. Pertanto la prova di Viola non ha funzionato quando f ( n ) = 1 .$f(n)\not \in o(n)$$M'$$O(n)$$f(n)=1$

Sarebbe interessante se potessimo decidere il tempo di esecuzione degli algoritmi del tempo sublineare. Un caso particolare è quando abbiamo arbitrario e f ( n ) = 1 .$g(n)$$f(n)=1$

Ecco alcune osservazioni che potrebbero essere rilevanti:

1. Kobayashi ha dimostrato che una TM in esecuzione nel tempo accetta un linguaggio regolare (e quindi funziona nel tempo O ( n ) ); recentemente questo è stato esteso alle TM non deterministiche ( Tadaki, Yamakami e Lin ).$o(n\log n)$$O(n)$
2. Le macchine che funzionano nel tempo realtà funzionano nel tempo costante (considera qualsiasi n per cui il tempo di esecuzione è inferiore a n ; l'aggiunta di caratteri alla fine non influisce sul TM).$o(n)$$n$$n$