Perché tutti i problemi in FPTAS sono anche in FPT?

Secondo l'articolo di Wikipedia sugli schemi di approssimazione dei tempi polinomiali :

Tutti i problemi in FPTAS sono tracciabili a parametri fissi.

Questo risultato mi sorprende: queste classi sembrano completamente diverse l'una dall'altra. FPTAS caratterizza i problemi in base alla loro facilità di approssimazione, mentre FPT caratterizza i problemi in base alla loro difficoltà rispetto ad alcuni parametri. Sfortunatamente, Wikipedia (al momento in cui sto ponendo questa domanda) non fornisce una citazione per questo.

Esiste una prova standard di questo risultato? O c'è una fonte che potrei consultare per saperne di più su questa connessione?

— templatetypedef
fonte

Questo è un teorema di Cai e Chen (JCSS97), che afferma " se un problema di ottimizzazione NP ha uno schema di approssimazione a tempo completamente polinomiale, allora è tracciabile a parametri fissi. " Vedi il documento Tracciabilità a parametri fissi e approssimabilità dell'ottimizzazione NP problemi .

— Pål GD,

E, naturalmente, come corollario ottieni " I problemi di ottimizzazione NP che sono -hard sotto la riduzione uniforme non hanno uno schema di approssimazione del tempo completamente polinomiale a meno che $W[1]$ $W[1] = FPT$ ."

— Pål GD,

@ PålGD- Anche se sembra che la scelta della parametrizzazione sia in qualche modo arbitraria; scelgono il parametro come valore della soluzione ottimale per l'input del problema. Suppongo che tecnicamente funzioni, sebbene intellettualmente non sia molto appagante.

— templatetypedef

Luke Mathieson ha dato una bella risposta di seguito, e penso che sia sufficiente rispondere alla tua domanda.

— Pål GD,

In realtà c'è un risultato più forte; Un problema è nella classe se ha un fptas ¹ : un'approssimazione di esecuzione nel tempo limitato da (ovvero polinomio sia nella dimensione che nel fattore di approssimazione). C'è una classe più generale che rilassa il tempo legato a - essenzialmente un -come il tempo di esecuzione rispetto al fattore di approssimazione. $\mathrm{FPTAS}$ $\varepsilon$ $(n+\frac{1}{\varepsilon})^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{EPTAS}$ $f(\frac{1}{\varepsilon})\cdot n^{\mathcal{O}(1)}$ $\mathrm{FPT}$

Chiaramente è un sottoinsieme di , e risulta che è un sottoinsieme di nel seguente senso: $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

Teorema Se un problema NPO ha un $\Pi$ eptas, allora parametrizzato dal costo della soluzione è tracciabile a parametri fissi. $\Pi$

Il teorema e la dimostrazione sono forniti in Flum & Grohe [1] come Teorema 1.32 (pagg. 23-24), e lo attribuiscono a Bazgan [2], che lo mette due anni prima del risultato più debole di Cai & Chen (ma in un francese rapporto tecnico).

Darò uno schizzo della dimostrazione, perché penso che sia una bella dimostrazione del teorema. Per semplicità farò la versione di minimizzazione, solo mentalmente farò le inversioni appropriate per la massimizzazione.

Prova. Sia un eptas per , quindi possiamo costruire un algoritmo parametrizzato per parametrizzato dal costo della soluzione come segue: dato input , eseguiamo sull'input dove impostiamo (ovvero scegliamo il rapporto di approssimazione associato ). Diciamo essere la soluzione, sia il costo di ed è il rapporto ravvicinamento effettivo di per $A$ $\Pi$ $A'$ $\Pi$ $k$ $(x,k)$ $A$ $x$ $\varepsilon := \frac{1}{k+1}$ $1+\frac{1}{k+1}$ $y$ $\text{cost}(x,y)$ $y$ $r(x,y)$ $y$ $\text{opt}(x)$ , ovvero . $\text{cost}(x,y) = r(x,y)\cdot \text{opt}(x)$

Se , accetta, come chiaramente . Se , rifiuta come come è un eptas e $\text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{opt}(x) \leq \text{cost}(x,y) \leq k$ $\text{cost}(x,y) > k$ $r(x,y) \leq 1+\frac{1}{k+1}$ $A$

opt (x) = \frac{cost (x, y)}{r (x, y)} \geq \frac{k + 1}{1 + \frac{1}{k + 1}} > k

$\text{opt}(x) = \frac{\text{cost}(x,y)}{r(x,y)} \geq \frac{k+1}{1+\frac{1}{k+1}} > k$

Ovviamente il tempo di esecuzione è limitato ad semplicemente da essendo un eptas . $A'$ $A$ $\Box$

Naturalmente, come sottolinea Pål, i risultati della durezza parametrizzata implicano la non esistenza di qualsiasi eptas a meno che non ci sia un qualche collasso, ma ci sono problemi in senza eptas (o persino ptas ), quindi è un sottoinsieme rigoroso di (nel senso del teorema). $\mathrm{FPT}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{FPT}$

Note:

Un fptas (equivalentemente eptas o ptas ) è uno schema di approssimazione con il tempo di esecuzione limitato come descritto sopra. La classe (equiv. , ) è l'insieme di problemi in che hanno un tale schema. $\mathrm{FPTAS}$ $\mathrm{EPTAS}$ $\mathrm{PTAS}$ $\mathrm{NPO}$

[1]: J. Flum e M. Grohe, teoria della complessità parametrizzata , Springer, 2006.
[2]: C. Bazgan. Schémas d'approximation and complexité paramétrée , Rapport de DEA, Université Paris Sud, 1995.

— Luke Mathieson
fonte