Complessità nel decidere se una formula ha esattamente 1 incarico soddisfacente

Il problema decisionale

Data una formula booleana , ha esattamente un compito soddisfacente?$\phi$$\phi$

può essere visto in , -hard e -hard. Qualcosa di più noto sulla sua complessità?$\Delta_2$$\mathsf{UP}$$\mathsf{coNP}$

Il tuo problema è noto come che è completo. Il problema è in ma non è noto essere -hard sotto riduzioni di tempo polinomiali deterministiche, dove la classe .$\text{UNIQUE-SAT}$$\mathsf{US}$$\mathsf{D^p}$$\mathsf{D^p}$$\mathsf{D^p} = \{ L_1 \cap \overline{L_2} \mid L_1,L_2 \in \mathsf{NP} \}$

Papadimitriou e Yannakis [1] hanno dimostrato che l'insieme di formule straordinariamente soddisfacenti è contenuto in . Ciò segue la definizione di : lascia che sia SAT e che sia l'insieme di formule con o più incarichi soddisfacenti. Riguardo a -hardness di , Blass e Gurevich [2] hanno dato una risposta parziale. Per uno, hanno mostrato che sarebbe necessaria una tecnica di prova non relativizzante per risolvere la questione. Tuttavia, Valiant e Vazirani [3] hanno dato una riduzione casuale del tempo polinomiale da mostrando -hardness di$\mathsf{D^p}$$\mathsf{D^p}$$L_1$$L_2$$2$$\mathsf{D^p}$$\text{UNIQUE-SAT}$$\text{SAT}$$\mathsf{D^p}$$\text{UNIQUE-SAT}$ con riduzioni temporali polinomiali randomizzate.

Quando si sa che il problema ha al massimo un compito o nessun compito, il problema della promessa viene chiamato . Il teorema Valiant – Vazirani afferma che se esiste un algoritmo temporale polinomiale per , allora . Per dimostrare il loro teorema hanno mostrato che il problema della promessa è -hard sotto riduzioni di tempo polinomiali randomizzate. Un corollario che segue dal teorema di Valiant-Vazirani è che è completo per con riduzioni temporali polinomiali randomizzate.$\text{UNAMBIGUOUS-SAT}$$\text{UNAMBIGUOUS-SAT}$$\mathsf{NP}=\mathsf{RP}$$\text{UNAMBIGUOUS-SAT}$$\mathsf{NP}$$\text{UNIQUE-SAT}$$\mathsf{D^p}$

[1] Papadimitriou, Christos H. e Mihalis Yannakakis. "La complessità delle sfaccettature (e alcune sfaccettature della complessità)." Atti del quattordicesimo simposio annuale ACM sulla teoria dell'informatica. ACM, 1982.

[2] Blass, Andreas e Yuri Gurevich. "Sull'unico problema di soddisfacibilità." Informazione e controllo 55.1 (1982): 80-88.

[3] Valiant, Leslie G. e Vijay V. Vazirani. "NP è facile come individuare soluzioni uniche." Theoretical Computer Science 47 (1986): 85-93.