Versione con restrizioni del problema Clique?

Considera la seguente versione del problema Clique in cui l'input è di dimensione $n$ e ci viene chiesto di trovare una cricca di dimensione . La restrizione è che la procedura decisionale non può cambiare il grafico di input in nessun'altra rappresentazione e non può usare nessun'altra rappresentazione per calcolare la sua risposta, oltre a bit extra oltre il grafico di input. I bit extra possono essere utilizzati, ad esempio, nell'algoritmo della forza bruta per tenere traccia dello stato della ricerca esaustiva di una cricca, ma la procedura decisionale è benvenuta per usarli in qualsiasi altro modo che decida ancora il problema. $k$ $\log(n^k)$

A questo punto si sa qualcosa sulla complessità di questo? È stato fatto qualche lavoro su altre restrizioni di Clique e, in tal caso, potresti indirizzarmi a tale lavoro?

complexity-theory time-complexity

— Persona timida
fonte

Intendi che la costante

sia uguale alla dimensione della cricca

k

$k$

\lg n^{k}

$\lg n^k$

k

$k$

— Lucas Cook,

@LucasCook Sì.

— ShyPerson,

Sembra che ti stia chiedendo se il problema della cricca NP completo può essere risolto o meno nello spazio logaritmico. Utilizzando le macchine Turing, un nastro è di sola lettura e memorizza il grafico di input. L'altro nastro è delimitata in modo che ci sia spazio disponibile per qualche costante . La classe di problemi risolvibili in questo modello è nota come , spazio logaritmico deterministico. (Vedi Wikipedia o nello zoo della complessità ) $c \lg n$ $c$ $L$

Non è noto se , ma una risposta positiva implicherebbe che , quindi tu (quasi sicuramente?) Non troverai una risposta. e implica , che implica . $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $P = NP$ $L \subseteq P \subseteq NP$ $\mathrm{CLIQUE} \in L$ $\mathrm{CLIQUE} \in P$ $P = NP$

Modifica nel caso in cui ho frainteso il problema:

Se intendi che in è uguale alla dimensione della cricca (cioè la quantità di scale di memoria con input ), allora c'è un semplice algoritmo di forza bruta: puoi scorrere tutti i possibili set di nodi e verificare se formano un -clique. Un punto di partenza per la ricerca di soluzioni migliori potrebbero essere i riferimenti di [1]. $k$ $\lg n^k = k \lg n$ $k$ $k$ $k$ $k$

[1] Virginia Vassilevska, link pdf "Algoritmi efficienti per problemi di cricca"

— Lucas Cook
fonte

@ShyPerson Ok. La stringa di input è spesso immutabile nei modelli con spazio limitato (come le TM spaziali sublineari in

), quindi potrebbe essere un buon posto in cui guardare. Non sono sicuro di un modo formale per dire che "non puoi fare un'altra rappresentazione" oltre a limitare semplicemente lo spazio. Se mi viene concesso lo spazio per fare un'altra copia di

, cosa costituisce esattamente un'altra rappresentazione? Cosa succede se "accidentalmente" costruisco una rappresentazione sufficiente per un grafico particolarmente scarso o comprimibile?

L

$L$

N L

$NL$

G

$G$

— Lucas Cook,

non è NP completo! (a meno che

)

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$

P = N P

$\mathrm{P}= \mathrm{NP}$

— Alex ten Brink,

@AlextenBrink Vuoi dire che kCLIQUE è il problema della funzione? Ho cambiato il nome in CLIQUE sopra (li confondo sempre!), Ma è strano per me dire che kCLIQUE è in NP se intendi il problema di funzione.

— Lucas Cook,

Significava searchproblema, in questo caso.

— Lucas Cook,

è ilproblema

per

fisso, mentre

come parte dell'ingresso. Controllando tutti i sottografi di dimensione

si ha unalgoritmo

, che è polinomiale se

è fisso ma superpolinomiale se per esempio

k C L I Q U E

$\mathrm{kCLIQUE}$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

C L I Q U E

$\mathrm{CLIQUE}$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k})

$O(n^k)$

k

$k$

k = Θ (n)

$k=\Theta(n)$

— Alex dieci Brink