Che cos'è una dicotomia? Se 2-SAT stesso è una dicotomia di SAT?

Di recente, sto leggendo articoli sulla dicotomia . Non capisco quale condizione possa essere definita una dicotomia ? Qual è il significato di "una domanda è in P o in NP - completa "? (supponiamo che P $\neq$ NP )

Ad esempio, ho conosciuto il teorema della dicotomia di Schaefer, in cui viene data una dicotomia sul "se una classe di SAT è in P ". In questo teorema, la dicotomia contiene sei condizioni, una delle quali è "2-SAT".

Quindi la mia domanda è che, se "2-SAT" stesso può essere chiamato come dicotomia o dicotomia banale , perché 2-SAT è in P ma 3-SAT è NP - completo ? In altre parole, mi chiedo che "se una classe speciale di una NP - completo problema è in P , allora questa classe è una dicotomia o di una dicotomia banale??"

complexity-theory np-complete satisfiability

— Miao Dongjing
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Sì, c'è una dicotomia riguardante

k

$k$ -SAT. Come dici tu, il problema è dentro

P

$P$ se e solo se

k \leq 2

$k \leq 2$ (sotto le solite ipotesi di complessità).

— Pål GD,

Un teorema della dicotomia (grossolana) afferma che in una certa classe di problemi, ogni problema è in P o NP-difficile. Ad esempio, il teorema di dicotomia di Schaefer riguarda la classe di problemi della forma $\mathrm{SAT}(S)$ . Qui $S$ è una raccolta di relazioni booleane e $\mathrm{SAT}(S)$ è il problema di decidere la soddisfacibilità delle proposizioni che sono congiunzioni di relazioni da $S$ . Questo è meglio spiegato da un esempio. Il problema è 2SAT $\mathrm{SAT}(S_2)$ con $S_2$ composto dai seguenti tre predicati:

(X, y) \mapsto X \lor y, (X, y) \mapsto X \lor \neg y, (X, y) \mapsto \neg X \lor \neg y .

$(x,y) \mapsto x \lor y, \quad (x,y) \mapsto x \lor \lnot y, \quad (x,y) \mapsto \lnot x \lor \lnot y.$ Cioè, ogni istanza di 2SAT è una congiunzione di clausole di una di queste tre forme, in cui è possibile sostituire qualsiasi variabile desiderata

x, y

$x,y$ . Come altro esempio, HORNSAT è

S A T (S_{H})

$\mathrm{SAT}(S_H)$ dove

S_{H}

$S_H$ è la seguente raccolta infinita:

\begin{matrix} X \mapsto X, X \mapsto \neg X, (X, y) \mapsto X \lor \neg y, (X, y) \mapsto \neg X \lor \neg y, \\ (X, y, z) \mapsto X \lor \neg y \lor \neg z, (X, y, z) \mapsto \neg X \lor \neg y \lor \neg z, \\ (X, y, z, w) \mapsto X \lor \neg y \lor \neg z \lor \neg w, (X, y, z, w) \mapsto \neg X \lor \neg y \lor \neg z \lor \neg w, ... \end{matrix}

$\begin{gather*} x \mapsto x, \quad x \mapsto \lnot x, \quad (x,y) \mapsto x \lor \lnot y, \quad (x,y) \mapsto \lnot x \lor \lnot y, \\ (x,y,z) \mapsto x \lor \lnot y \lor \lnot z, \quad (x,y,z) \mapsto \lnot x \lor \lnot y \lor \lnot z, \\ (x,y,z,w) \mapsto x \lor \lnot y \lor \lnot z \lor \lnot w, \quad (x,y,z,w) \mapsto \lnot x \lor \lnot y \lor \lnot z \lor \lnot w, \ldots \end{gather*}$ Il teorema di dicotomia di Schaefer afferma che per ogni finito

S

$S$ , il problema

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$ è in P o è NP completo (questa è una dicotomia poiché ci sono solo due possibilità). Ad esempio, 2SAT e

k

$k$ -HORNSAT sono in P per ogni

k

$k$ , mentre 3SAT è NP-completo. Ciò è sorprendente poiché se crediamo che P

\neq

$\neq$ NP quindi il teorema di Ladner mostra che ci sono problemi intermedi - problemi che non sono né in P né NP completi. Il teorema di Schaefer mostra che questi problemi non possono essere di forma

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$ .

Una versione più raffinata del teorema di Schaefer afferma che $\mathrm{SAT}(S)$ è in co-NLOGTIME, L-complete, NL-complete, $\oplus$ L-complete, P-complete o NP-complete. Negli ultimi anni, innumerevoli generalizzazioni del teorema di Schaefer sono state dimostrate o congetturate, compresi i risultati sul conteggio delle soluzioni e l'approssimazione del numero massimo di clausole soddisfacenti, nonché i risultati su domini non booleani. La congettura principale è la congettura della dicotomia Feder-Vardi che afferma che il teorema di Schaefer vale per le relazioni su un dominio arbitrario di dimensioni finite. Per lo stato del teorema originale di Schaefer nel caso in cui $S$ è infinito, vedi questa domanda .

— Yuval Filmus
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Grazie per il tuo aiuto, sono diventato un po 'più chiaro, tuttavia, sono davvero confuso su questa domanda: se "2-SAT" stesso può essere chiamato come dicotomia, perché 2-SAT è in P ma 3-SAT è NP- completare? In altre parole, mi chiedo che "se una classe speciale di un problema NP completo è in P, allora questa classe speciale è una dicotomia? O una banale dicotomia?"

— Miao Dongjing,

Ma qual è il significato di una dicotomia?

— Miao Dongjing,

2SAT non è una dicotomia ma una lingua. Come dici tu, la dicotomia è quella

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$ è completo in P o NP (almeno per finito

S

$S$ ). Il significato è che esiste un "divario" nella complessità - ogni problema di tipo

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$ è "facile" (in P) o "difficile" (NP-completo), senza nulla in mezzo. Ciò è sorprendente poiché sappiamo che se P

\neq

$\neq$ NP quindi ci devono essere problemi la cui complessità è intermedia (l'isomorfismo del grafico potrebbe essere uno di questi), ma per qualche ragione problemi della forma

S A T (S)

$\mathrm{SAT}(S)$ mai mostrare questo comportamento.

— Yuval Filmus,

Mentre se si rimuove una delle sei condizioni dal teorema della dicotomia di Schaefer, viene ancora chiamata dicotomia? Penso che la parte importante sia che "altrimenti, è in NP-completo", ma vuole solo dare le condizioni il più possibile, giusto?

— Miao Dongjing,

Non posso seguirti. Se cambi il teorema di Schaefer, potresti ottenere un'affermazione che non è vera.

— Yuval Filmus,

La parola "dicotomia" deriva dalla dicotomia greca che significa divisa o divisa in due. Pertanto, una dicotomia è qualsiasi affermazione della forma, "Tutto è A o B ma non entrambi". L'esempio classico è "Sei con noi o contro di noi". La dicotomia di Schaeffer per CSP booleano (che chiama "Soddisfazione generalizzata") è un altro esempio: per ogni insieme finito di relazioni booleane, il corrispondente problema di soddisfacibilità è o è in P o è NP-completo (ma non entrambi, supponendo che P $\neq$ NP). Il teorema di Kuratowski è anche una dicotomia: ogni grafico è o planare di contiene $K_5$ o $K_{3,3}$ come minore (topologico).

Si noti che una dicotomia non è la fine della storia e potrebbe essere possibile produrre una classificazione più dettagliata. Potresti essere completamente con noi o solo leggermente contro di noi. Alcuni dei casi polinomiali del teorema di Schaeffer sono più facili di altri (Allender, Bauland, Immerman, Schnoor, Voller, "The Complexity of Satisfiability Problems: Raffinazione del teorema di Schaeffer" . Journal of Computer and System Sciences , 75: 245-254, 2009.)

— David Richerby
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