C'è sempre una complessità di Big Oh strettamente tra altre due?

8

Sto imparando l'analisi asintotica e ho visto alcune complessità dall'aspetto esotico che vivono tra altre comuni. Ad esempio, "log log n" è strettamente compreso tra 1 e log n. Mi chiedo se si possano sempre trovare delle complessità tra le altre due.

In particolare, per tutte le funzioni feg con O (f) ⊂ O (g) esiste sempre una h tale che O (f) ⊂ O (h) ⊂ O (g)?

Non si tratta di compiti a casa o altro. Sono solo curioso se qualcuno lo sa.

complexity-theory time-complexity asymptotics

— begriffs
fonte

10

Sì: prendi una funzione nel mezzo, per una definizione adatta di mezzo. Hai una vasta scelta.

Se (dove l'inclusione è rigorosa), allora (perché se e quindi ). Prendi la media geometrica: let (dato che qui stiamo parlando di complessità, suppongo che le funzioni siano positive). $O(f) \subset O(g)$ $g \in O(g) \setminus O(f)$ $g \in O(f)$ $f \in O(g)$ $\Theta(f) = \Theta(g)$ $h = \sqrt{f \cdot g}$

Quindi e (se ciò non è immediatamente ovvio, dimostralo usando la definizione di ), ovvero . Se allora , che non è il caso poiché abbiamo assunto . Resta da dimostrare che , e avremo . $f \in O(h)$ $h \in O(g)$ $O$ $O(f) \subseteq O(h) \subseteq O(g)$ $O(f) = O(h)$ $g = f \in O(f)$ $g \notin O(f)$ $O(h) \ne O(g)$ $O(f) \subset O(h) \subset (g)$

Se quindi , cioè esiste e tale che . Quindi (prendi il quadrato e dividi per ; di nuovo, presumo funzioni positive), quindi , che va contro la nostra ipotesi iniziale. L'ipotesi porta a una contraddizione, che conclude la dimostrazione. $O(h) = O(g)$ $g \in O(h)$ $A$ $C \gt 0$ $\forall x \ge A, g(x) \le C \, h(x) = C \sqrt{f(x) g(x)}$ $g(x) \le C^2 f(x)$ $g(x)$ $g \in O(f)$ $O(h) = O(g)$

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'
fonte

Lasciare che sia una media anche per me, ma mi chiedo se c'è un risultato più forte. Se f: x ↦ 0 e g: x ↦ 2x, allora h sarebbe x, ma O (h) equivale esattamente a O (g). Sto cercando una h che è più debole, dove O (h) contiene elementi O (f) non e manca alcuni elementi di O (g).

— Begriffs,

@ user3102996 Oops, sì, hai ragione. L'errore è stato "allo stesso modo" ... La media aritmetica cresce come la funzione più grande! La media geometrica, d'altra parte, cresce "esattamente" nel mezzo. Ho corretto la mia risposta.

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio' il

-3

questo sembra essere vero per le funzioni "ben definite" o possibili "spazio / tempo costruibili", tuttavia sono note le cosiddette (da alcune) "funzioni patologiche" trovate da Blum, ad esempio nel teorema di Blums Gap per il quale non è il Astuccio. quindi sembra simile al concetto di differenziazione, ad esempio, nel calcolo che funziona per "funzioni ben educate" ma quali "eccezioni patologiche" sono state trovate. sembra che finora non ci siano molti studi sistematici / approfonditi su queste "eccezioni patologiche" nella teoria della complessità.

— VZN
fonte

ps iirc era oded goldreich che li chiamava funzioni di crescita "patologiche" ... forse qualcuno avrebbe preferito spazzarli sotto il tappeto = (

— vzn