Dimostrando la (in) trattabilità di questo ennesimo episodio ricorrente

Come segue dalla mia domanda precedente , ho giocato con l' ipotesi di Riemann come una questione di matematica ricreativa. Nel processo, sono arrivato a una ricorrenza piuttosto interessante e sono curioso di sapere il suo nome, le sue riduzioni e la sua trattabilità verso la solvibilità del divario tra i numeri primi.

In parole povere, possiamo definire il divario tra ciascun numero primo come una ricorrenza di numeri primi candidati precedenti . Ad esempio, per la nostra base di , il primo primo sarebbe:$p_0 = 2$

$\qquad \displaystyle p_1 = \min \{ x > p_0 \mid -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1 = 0) \}$

Oppure, come vediamo tracciando questo : $p_1 = 3$ .

Possiamo ripetere il processo per $n$ numeri primi valutando ogni candidato primo ricorrente in avanti. Supponiamo di voler ottenere il prossimo numero primo, $p_2$ . La nostra funzione candidata diventa:

$\qquad \displaystyle \begin{align} p_2 = \min\{ x > p_1 \mid f_{p_1}(x) + (&(-\cos(2\pi(x+1)/p_1) + 1) \\ \cdot &(-\cos(2\pi(x+2)/p_1) + 1)) = 0\} \end{align}$

Dove:

$\qquad \displaystyle f_{p_1}(x) = -\cos(2\pi(x+1)/p_0) + 1$ , come sopra.

È facile vedere che ogni funzione di componente diventa zero solo su valori interi, ed è altrettanto facile mostrare come questo cattura abilmente le nostre relazioni a forma di AND e XOR, sfruttando le proprietà di addizione e moltiplicazione nel contesto di un sistema di trigonometria equazioni.

La ricorrenza diventa:

$\qquad f_{p_0} = 0\\ \qquad p_0 = 2\\ \qquad \displaystyle f_{p_n}(x) = f_{p_{n-1}}(x) + \prod_{k=2}^{p_{n-1}} (-\cos(2\pi(x+k-1)/p_{n-1}) + 1)\\ \qquad \displaystyle p_n = \min\left\{ x > p_{n-1} \mid f_{p_n}(x) = 0\right\}$

... dove l'intero problema dipende dal fatto che possiamo valutare l' operatore $\min$ su questa funzione in tempo polinomiale. Questa è, in effetti, una generalizzazione del setaccio di Eratostene .

Codice Python funzionante per dimostrare la ricorrenza:

from math import cos,pi

def cosProduct(x,p):
    """ Handles the cosine product in a handy single function """
    ret = 1.0
    for k in xrange(2,p+1):
        ret *= -cos(2*pi*(x+k-1)/p)+1.0
    return ret

def nthPrime(n):
    """ Generates the nth prime, where n is a zero-based integer """

    # Preconditions: n must be an integer greater than -1
    if not isinstance(n,int) or n < 0:
        raise ValueError("n must be an integer greater than -1")

    # Base case: the 0th prime is 2, 0th function vacuous
    if n == 0:
        return 2,lambda x: 0

    # Get the preceding evaluation
    p_nMinusOne,fn_nMinusOne = nthPrime(n-1)

    # Define the function for the Nth prime
    fn_n = lambda x: fn_nMinusOne(x) + cosProduct(x,p_nMinusOne)

    # Evaluate it (I need a solver here if it's tractable!)
    for k in xrange(p_nMinusOne+1,int(p_nMinusOne**2.718281828)):
        if fn_n(k) == 0:
            p_n = k
            break

    # Return the Nth prime and its function
    return p_n,fn_n

Un rapido esempio:

>>> [nthPrime(i)[0] for i in range(20)]
[2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71]

Il guaio è che ora sono completamente sopra la mia testa, sia matematicamente che come informatico. In particolare, non sono competente con l'analisi di Fourier , con la definizione di coperture uniformi o con il piano complesso in generale, e sono preoccupato che questo approccio sia completamente sbagliato o nasconda un inorridito orrore di un problema 3SAT che lo eleva a NP-completezza.

Pertanto, ho tre domande qui:

1. Data la mia concisa ricorrenza sopra, è possibile calcolare o stimare in modo deterministico la posizione degli zeri nel tempo e nello spazio polinomiale?
2. Se è così o no, sta nascondendo altri sottoproblemi che renderebbero intrattabile una soluzione polytime o polyspace?
3. E se per qualche miracolo (1) e (2) reggessero, quali miglioramenti di programmazione dinamica faresti per soddisfare questa ricorrenza, da un livello elevato? Chiaramente, l'iterazione sugli stessi numeri interi attraverso più funzioni è inelegante e piuttosto dispendiosa.

Il seguente documento mostra che PRIMES è in P (ha anche vinto un premio Gödel nel 2006):

http://www.cse.iitk.ac.in/users/manindra/algebra/primality_v6.pdf

Impostando la soluzione dell'ennesima procedura di minimizzazione in prime sull'algoritmo AKS PRIMES (modulo a sottrazione), potremmo effettivamente ottenere una soluzione trattabile per la relazione di ricorrenza (se puoi dimostrare che la differenza di ricorrenza è data dalla relazione di ricorrenza).

I codici sorgente possono essere trovati su Internet. Non li sto indicando qui perché non li ho controllati personalmente.

Come è tuttavia, potremmo avere ancora il limite superiore di per controllare tutti i numeri ...$\sqrt{n}$