Possiamo costruire una riduzione del Karp da una riduzione di Cook tra problemi NP?

Abbiamo avuto diverse domande sulla relazione tra le riduzioni di Cook e Karp . È chiaro che le riduzioni di Cook (riduzioni di Turing a tempo polinomiale) non definiscono la stessa nozione di completezza NP delle riduzioni di Karp (riduzioni a tempo multiplo di polinomio), che di solito vengono utilizzate. In particolare, le riduzioni di Cook non possono separare NP da co-NP anche se P NP. Quindi non dovremmo usare le riduzioni Cook nelle tipiche prove di riduzione.$\neq$

Ora, gli studenti hanno trovato un'opera peer-review [1] che utilizza una riduzione Cook per dimostrare che un problema è NP-difficile. Non ho dato loro il punteggio pieno per la riduzione che hanno preso da lì, ma mi chiedo.

Dal momento che le riduzioni Cook fanno definire una simile nozione di durezza riduzioni Karp, ritengo che dovrebbero essere in grado di separare P da NPC resp. co-NPC, assumendo P NP. In particolare, (qualcosa del genere) dovrebbe essere vero quanto segue:$\neq$

.$\qquad\displaystyle L_1 \in \mathrm{NP}, L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1 \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$

La pepita importante è che è elusa dall'insensibilità sopra nota. Ora "sappiamo" - per definizione di NPC - che L 2 ≤ K a r p L 1 .$L_1 \in \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Karp}} L_1$

Come è stato notato da Vor , non è così facile (notazione adattata):

Supponiamo che , per definizione, per tutte le lingue L 2 ∈ N P C K a r p ⊆ N P abbiamo L 2 ≤ C o o k L 1 ; e se la precedente implicazione è vera, allora L 1 ∈ N P C K a r p e quindi N P C K a $L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$$L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} \subseteq \mathrm{NP}$$L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1$$L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$ che è ancora una questione aperta.$\mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}} = \mathrm{NPC}_{\mathrm{Cook}}$

Potrebbero esserci altre differenze tra i due NPC ma co-NP.

In caso contrario, ci sono dei criteri noti (non banali) per quando una riduzione di Cook implica la durezza Karp-NP, ovvero conosciamo i predicati con$P$

?$\qquad\displaystyle L_2 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}, L_2 \leq_{\mathrm{Cook}} L_1, P(L_1,L_2) \implies L_1 \in \mathrm{NPC}_{\mathrm{Karp}}$

1. On the Complexity of Multiple Sequence Alignment di L. Wang e T. Jiang (1994)

è un problema TCS generalmente aperto soggetto a ricerche in corso se e le condizioni esatte Le riduzioni di Cook & Karp sono equivalenti ed è apparentemente strettamente correlata alla domanda NP =? coNP aperta e ad altre separazioni delle classi di complessità, ad es. E =? NE (lingue sparse).

ecco due articoli di ricerca sull'argomento e ulteriori indicazioni su tcs.se tramite una domanda simile:

• Cook e Karp sono sempre gli stessi? Beigel, Fortnow

• Cook vs. Karp-Levin: nozioni di completezza separate se NP non è piccola (1995) Lutz, Mayordomo

• molte riduzioni rispetto a riduzioni di Turing per definire NPC , tcs.se

In generale, per trasformare meccanicamente un problema completo di Cook in un problema completo di Karp, ci deve essere qualcosa di speciale con la lingua stessa.

$L$

$L$

$x$$x'=f(x)$$L(x)\neq L(x')$

$g(x)$$f(g(x))$

Come puoi vedere, queste proprietà non sono normalmente viste nella teoria della complessità, teoria della calcolabilità. In conclusione, è estremamente improbabile riuscire a trasformare Cook in Karp.