I circuiti Depth-2 con porte OR e MOD non sono universali?

È noto che ogni funzione booleana può essere realizzata utilizzando un circuito booleano di profondità 2 (sopra le variabili, la loro negazione e i loro valori costanti) contenente porte AND nel primo livello e una singola porta OR nel livello superiore; questa è semplicemente la rappresentazione DNF di . $f:\{0,1\}^n\to \{0,1\}$ $f$

Un altro tipo di gate che è di grande interesse per la complessità del circuito è il gate . La definizione abituale è la seguente: $MOD_m$

{M O D}_{m} (x_{1}, \dots, x_{k}) = {\begin{cases} 1 & if \sum x_{i} \equiv 0 \mod m \\ 0 & if \sum x_{i} ≢ 0 \mod m \end{cases}

$\mathrm{MOD}_m(x_1,\dots,x_k)=\cases{ 1 & if $\sum x_i \equiv 0 \mod m$ \\ 0 & if $\sum x_i \not\equiv 0 \mod m$ \\ }$

Queste porte a volte hanno un potere sorprendente; per esempio, qualsiasi funzione booleana può essere rappresentata da un circuito di profondità 2 che ha solo porte $\mathrm{MOD}_6$ (questo è folklore ma posso elaborare se qualcuno è interessato).

Tuttavia, un altro folklore è che i circuiti con una singola porta OR nella parte superiore e le porte $\mathrm{MOD}_m$ nello strato inferiore (con $m$ riparato una volta per tutte, e in particolare lo stesso per tutte le porte) non è universale, cioè per qualsiasi valore di $m$ , ci sono funzioni booleane che non possono essere calcolate dal circuito $\mathrm{OR} \circ \mathrm{MOD}_m$ .

Sto cercando una prova per questa affermazione, o almeno una direzione.

complexity-theory logic circuits

— Gadi A
fonte

Nel primo paragrafo, o non hai bisogno di porte o devi dire "ogni funzione booleana monotona ".

— Tsuyoshi Ito,

Hai ragione; il presupposto abituale è che hai come input le variabili, la loro negazione e anche valori arbitrari (importante per i modgate). Scriverò esplicitamente.

— Gadi A

Immagino che

, il numero di variabili di input, sia diverso da

, il modulo?

n

$n$

n

$n$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen,

Sì, mi dispiace per quello.

— Gadi A

Sono interessato a questo. Conosci qualche riferimento per il primo fatto folcloristico? Mi chiedo, se in quest'ultima classe di circuiti permetti solo un OR, quanti ne permetti nel primo?

— Juan Bermejo Vega,

La funzione booleana AND non può essere calcolata. Supponiamo che la funzione AND sia calcolata da un circuito . Quindi ne consegue che uno dei sottocircuiti MOD deve calcolare già la funzione AND, il che è impossibile. $\text{OR} \circ \text{MOD}$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen
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No, ha ragione. L'assunto implicito qui è che n è costante e dovremmo essere in grado di gestire un numero arbitrariamente grande di input con porte mod_n.

— Gadi A

@GadiA Ah, ok. Questo non era chiaro nella tua domanda, almeno per le persone che non hanno familiarità con il campo. Ho fatto una modifica minore che dovrebbe chiarire questo.

— Gilles 'SO- smetti di essere malvagio'

Sì, la mia domanda è stata formulata molto male, scusa.

— Gadi A

@Gilles Puoi spiegarmi quale fan-in qui consideriamo? Il problema per me è che non riesco a capire perché il sottocircuito di MOD non può calcolare AND? Quanti ingressi ha questo MOD e questo AND?