Limiti di runtime su algoritmi di NP completano i problemi assumendo P ≠ NP

Assumere P ≠ N P .$P\neq NP$

Cosa possiamo dire dei limiti di runtime di tutti i problemi NP-completi?

cioè quali sono le funzioni più strette L , U : N → N per le quali possiamo garantire che un algoritmo ottimale per qualsiasi problema NP completo venga eseguito nel tempo di almeno ω ( L ( n ) ) e al massimo o ( U ( n ) ) su un input di lunghezza n ?$L,U:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$$\omega(L(n))$$o(U(n))$$n$

Ovviamente, ∀ c : L ( n ) = Ω ( n c ) . Inoltre, U ( n ) = O ( 2 n ω ( 1 ) ) .$\forall c:L(n)=\Omega(n^c)$$U(n) = O(2^{n^{\omega(1)}})$

Senza assumere Q P ≠ N P , E T H , o qualsiasi altra supposizione che non è implicita da P ≠ N P , possiamo dare dei limiti migliori su L , U ?$QP\neq NP$$ETH$$P\neq NP$$L,U$

MODIFICARE:

Si noti che almeno uno di L , U deve essere lontano dai limiti che ho dato qui, poiché essendo problemi NPC, questi problemi hanno una riduzione del tempo poli tra di loro, il che significa che se un problema NPC ha un algoritmo ottimale di tempo f ( n ) , quindi tutti i problemi hanno un algoritmo (ottimale o no) di runtime O ( f ( n O ( 1 ) ) ) .$L,U$$f(n)$$O(f(n^{O(1)}))$

La mia interpretazione della domanda è che si chiede delle possibilità nei mondi relativizzati . Supponiamo che in qualche mondo relativizzato, P ≠ N P . Possiamo dedurre qualcosa di non banale sulla complessità temporale dei problemi NP-completi? L' argomento Baker – Gill – Solovay mostra che possiamo "forzare" alcuni problemi NP a richiedere tempo esponenziale, quindi il limite superiore indicato nella domanda è essenzialmente ottimale.$P \neq NP$

Per quanto riguarda il limite inferiore, tracciamo di seguito una dimostrazione relativa ad un oracolo, N P = T I M E ( 2 O ( log 2 n ) ) . Supponendo che la bozza di prova sia corretta, possiamo anche applicarla a funzioni inferiori a 2 O ( log 2 n ) , e questo dimostra che anche il limite inferiore indicato nella domanda è essenzialmente stretto.$NP = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$$2^{O(\log^2 n)}$

Schizzo di prova. Costruiamo due oracoli O 1 , O 2 : il primo si comporta come un problema completo T I M E ( 2 O ( log 2 n ) ) , e il secondo implementa la diagonalizzazione Baker – Gill – Solovay. È semplice racchiudere entrambi gli oracoli in un unico oracolo.$O_1,O_2$$\mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})$

L'oracolo O 1 consiste di tutte le coppie ⟨ M , x ⟩ tale che M è una macchina oracolo Turing che accetta x in tempo di esecuzione 2 2 $O_1$$\langle M, x \rangle$$M$$x$log | x | quando viene dato accesso agli oracoliO1,O2limitato a ingressi di lunghezza al massimo2$2^{2^{\sqrt{\log |x|}}}$$O_1,O_2$log | x | . (Questa non è una definizione circolare.)$2^{\sqrt{\log |x|}}$

L'oracolo O 2 è definito nello stesso modo in cui l'oracolo è definito in Baker – Gill – Solovay: per ogni oracolo con orologio la macchina di Turing M che corre nel tempo T = 2 o ( log 2 n ) , troviamo una lunghezza di input n che è "intoccato", esegui M su 1 n per passi T , e per ogni query su O 2 di dimensione n , contrassegniamo che questo input non è in O 2 (per altre query segnaliamo anche che l'input non è presente, a meno che non aveva già deciso che è in $O_2$$M$$T = 2^{o(\log^2 n)}$$n$$M$$1^n$$T$$O_2$$n$$O_2$2 ). Le query su O 1 vengono gestite in modo simile (come query implicite su O 1 , O 2 di dimensioni inferiori, gestite in modo ricorsivo); si noti che tali query non menzionano mai stringhe di lunghezza n in O 2 , poiché 2 $O_2$$O_1$$O_1,O_2$$n$$O_2$log T <n. Se la macchina accetta, contrassegniamocome mancantitutte le altre stringhe di lunghezzaninO2, altrimenti selezioniamo una stringa di lunghezzane lainseriamoinO2.$2^{\sqrt{\log T}} < n$$n$$O_2$$n$$O_2$

The class $P^{O_1,O_2}$ consists of all programs running in time $2^{2^{O(\sqrt{\log n})}}$, making queries to $O_1,O_2$ of size $2^{O(\sqrt{\log n})}$. The class $NP^{O_1,O_2}$ is of the form $x \mapsto \exists |y|<n^C \varphi(x,y)$, where $\varphi \in P^{O_1,O_2}$, and so it is contained in the class of all programs running in time $2^{n^C}$ and making oracle queries of size $2^{O(\sqrt{\log n})}$. The latter is contained in $\mathrm{TIME}(2^{\log^2 n^C})^{O_1,O_2}$, since we can use $O_1$ to decide it. This shows that $NP^{O_1,O_2} \subseteq \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$.

For the other direction, let $L$ be the language which consists of $1^n$ for each $n$ such that $O_2$ contains some string of length $n$. By construction of $O_2$, $L \notin \mathrm{TIME}(2^{o(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$, while clearly $L \in NP^{O_1,O_2}$. This shows that $NP^{O_1,O_2} = \mathrm{TIME}(2^{O(\log^2 n)})^{O_1,O_2}$.