Influenza della dimensione degli automi cellulari sulle classi di complessità

Prendiamo ad esempio la riduzione 3d → 2d: qual è il costo della simulazione di un automa cellulare 3d da parte di un automa cellulare 2d?

Ecco un mucchio di domande più specifiche:

1. Di che tipo di algoritmi cambierà la loro complessità temporale, di quanto?

2. Quale sarebbe l'idea di base per la codifica; come viene mappata in modo efficiente (o non efficiente ...) una griglia 3d su una griglia 2d? (La sfida sembra raggiungere la comunicazione tra due celle che originariamente erano vicine sulla griglia 3d, ma non sono più vicine sulla griglia 2d).

3. In particolare, sono interessato alla deriva della complessità per gli algoritmi di complessità esponenziale (che immagino rimanga esponenziale qualunque sia la dimensione, è il caso?)

Nota: non mi interessano le classi a bassa complessità per le quali il metodo I / O scelto influisce sulle complessità. (Forse il migliore è supporre che il metodo I / O sia privo di dimensioni: eseguito localmente su una cella specifica durante una quantità variabile di fasi temporali.)

Qualche contesto: sono interessato alla riscrittura dei grafici locali paralleli, ma quei grafici sono più vicini alle griglie 3d (o forse ωd ...) rispetto alle griglie 2d, vorrei sapere cosa aspettarmi da un'implementazione hardware su un 2-dimensionale chip di silicio.

Spiegherò pezzi di questo articolo: Simulazione di automi cellulari 3D con automi cellulari 2D .

Cominciamo dalla codifica della griglia, una funzione . Intuitivamente t non può preservare la distanza perché il numero di celle a una distanza inferiore a R dall'origine non sarà lo stesso. Avrete bisogno di incorporare questi circa R 3 celle in qualche lo stesso numero di cellule, ma che sarà in qualche modo della forma r 2 ma allora è necessario avere r > R . Questi R e R sono un po 'come il raggio del concetto di quartiere a trovare in qualsiasi automa cellulare.$t:\mathbb Z^3 → \mathbb Z^2$$t$$R$$R^3$$r^2$$r>R$$r$$R$

Così la trasformazione di questo articolo renderà le cose più grandi essenzialmente da una potenza di almeno . Che se i punti sono distanti da d nella prima griglia, saranno distanti almeno di O ( $3/2$$d$nella seconda griglia. Sfortunatamente l'incorporamento indicato è solo inO(d3).$O(\sqrt d^3)$$O(d^3)$

Tuttavia, e questa è un'osservazione molto importante, non si ottiene lo stesso vicinato rispetto al primo automa ed è per questo che in precedenza ho detto "un po 'come". Per citare l'articolo:

è ovvio che ci saranno celle molto vicine in e tali che [la loro codifica sarà] arbitrariamente lontana in Z$\mathbb Z^3$$\mathbb Z^2$

Funziona anche a tempo: il tempo di esecuzione di un passaggio in può essere arbitrario lungo in Z 2 . Si noti che la codifica è più di una simulazione: la CA 2D l'autore simula persino il calcolo della funzione t : Z 3 → Z 2 .$\mathbb Z^3$$\mathbb Z^2$$t:\mathbb Z^3 → \mathbb Z^2$

È una scommessa sicura affermare che la complessità (nel tempo) di qualsiasi algoritmo eseguito su una CA 3D esploderà quando viene eseguita sulla codifica di questa CA 3D in una CA 2D. L'autore afferma che non può essere vincolato da nessuna funzione nella sua simulazione. E dico che l'esplosione è almeno esponenziale in generale, perché il tempo di propagazione delle informazioni dipende dalla posizione.

L'idea di eseguire algoritmi su automi cellulari mi sembra già un po 'strana, ma è personale. Tuttavia, questo non è nulla rispetto all'idea di un'implementazione di un automa cellulare in un chip di silicio, o sono solo io?