Trovare almeno due percorsi della stessa lunghezza in un grafico diretto

Supponiamo di avere un grafo diretto e due nodi e . Vorrei sapere se esistono già algoritmi per il calcolo del seguente problema decisionale: $G=(V,E)$ $A$ $B$

Ci sono almeno due percorsi tra e della stessa lunghezza? $A$ $B$

E la complessità? Posso risolverlo in tempo polinomiale?

Vorrei aggiungere un nuovo vincolo al grafico, forse il problema è più risolvibile. Sulla matrice di adiacenza, ogni colonna non è vuota. Quindi, ogni nodo ha almeno una freccia sull'input e c'è anche almeno un nodo collegato a se stesso. Quindi se il nodo è l' -esimo nodo, allora è un bordo nel grafico. $i$ $(i,i)$

— Paolo Parisen T.
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Intendevi percorsi semplici? (visitando ogni nodo al massimo una volta), Inoltre, possono avere un nodo interno comune?

no, non ci sono restrizioni sui percorsi. puoi fare un ciclo, se vuoi.

— Paolo Parisen T.

Facile l'osservazione è questa: se c'è solo un semplice percorso tra

A, B

$A,B$ , e questo semplice percorso è collegato ad al massimo un ciclo, si potrebbe semplicemente dire

N o

$No$ , se non v'è di almeno due circuiti di diversa lunghezza collegati a questa semplice percorso, potresti dire di sì, .... (penso che cose simili siano utili e potresti provarlo), ma nel caso di percorsi semplici disgiunti (se durante la prova hai incontrato percorsi semplici disgiunti), è NPC.

@mrm: non lo vedo come un duplicato. Chiedere tutte le passeggiate è un'operazione che richiede molto tempo (in generale, ci sono un numero infinito di passeggiate), mentre l'OP richiede due (semplici) percorsi, non tutte le passeggiate.

— Dave Clarke,

Risposte:

Considera un grafico , vogliamo sapere se ci sono due diversi percorsi da a della stessa lunghezza. Cosa fare? Semplice: codifica due percorsi in uno. Definire il grafico con i vertici . Fate un passo nella , facendo due passi indipendenti . Il bit aggiuntivo indica se i due percorsi sono già stati separati l'uno dall'altro. $G$ $A$ $B$ $G'$ $V \times V \times \{0,1\}$ $G'$ $G$

Formalmente, c'è un bordo in iff , in ed . $(i,j,e) \to (i',j',e')$ $G'$ $i \to i'$ $j \to j'$ $G$ $e'=e ∨ (i,i')≠(j,j')$

L'algoritmo verifica se esiste un percorso a in , che è , o qualcosa di simile a . $(A,A,0)$ $(B,B,1)$ $G'$ $O(V^4)$ $O((V+E)^2)$

Se si concorda che questo algoritmo è corretto, di conseguenza, il percorso in è della lunghezza al massimo di , pertanto le potenziali "collisioni di percorso" devono verificarsi al più tardi a quella lunghezza. Puoi ottenere un algoritmo da questa osservazione, dove è la complessità della moltiplicazione della matrice (chiedi se hai bisogno di uno spoiler ...). $G'$ $2n^2$ $O(V^{\omega} \log V)$ $\omega$

Sento fortemente che esiste un algoritmo , che utilizza maggiormente la struttura del problema. $O(V+E)$

— sdcvvc
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È elegante

— Raffaello

Probabilmente ho una risposta per questo problema, ma non sono sicuro che funzioni.

Non è importante "trovare" i due percorsi, l'unica cosa importante è "sapere" se esistono o no. Non penso che questo sia un problema completo NP.

Quindi, prendere la matrice di adiacenza . Possiamo facilmente supporre che sia riempito con un valore di 0,1. (0 = nessun bordo; 1 = c'è un bordo) Usiamo la seguente algebra con 3 valori (0,1,2), dove tutto funziona come al solito tranne: ; $\textbf A$ $2+\text{<something>} = 2$ $2*\text{<whatever greater than 0>} = 2$

Quindi, se ci sono due percorsi della stessa lunghezza da mi aspetto che ci sia un valore tale che . $i,j$ $p$ $(\textbf A^p)_{i,j} = 2$

Sia il numero di vertici nel grafico (o, diciamo, che abbia dimensione ). Non conosco il valore di , ma se ripetessi moltiplicando con se stesso per al massimo dovrei trovare la risposta. (quindi, ) (il senso è che controllo , quindi controllo , quindi controllo e così via ...) $n$ $\textbf A$ $n\times n$ $p$ $\textbf A$ $n^2$ $p<n^2$ $\text A$ $\text A^2$ $\text A^3$

ecco la mia argomentazione:

se i due percorsi sono percorsi semplici, beh, funziona; se ci sono, al massimo devo ripetere volte. $n$
Se c'è almeno un ciclo neasted o c'è un percorso con due cicli, beh, devo trovare il minimo comune multiplo (LCM). è sicuramente un valore maggiore e in meno di volte, se c'è, dovrei trovarli. $n^2$ $n^2$
Se i due percorsi sono due percorsi distinti, entrambi con un ciclo, è più o meno simile a trovare una soluzione per queste due equazioni: , dove e sono la lunghezza di questi due distinti cicli. La moltiplicazione della matrice , come definito sopra, dice "c'è un percorso da a cui lunghezza è ?" Quindi, se è maggiore di significa che ci sono più percorsi che conducono da a . Ripetendo la matrice $\alpha + \beta m = \gamma + \delta k$ $m$ $k$ $\text A^q$ $i$ $j$ $q$ $\textbf A^q$ $1$ $i$ $j$ volte passiamo attraverso tutte le possibili combinazioni di e . Infatti, è definito come e nessun ciclo può essere maggiore di . $n^2$ $\delta$ $\beta$ $LCM(a,b)$ $(a*b)/GCD(a,b)$ $n$

Mi fermo per iterare una volta trovato . $(\textbf A^p)_{i,j} = 2$

ho sbagliato?

— Paolo Parisen T.
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α

$\alpha$

γ

$\gamma$

2

$2$

n^{2}

$n^2$

n

$n$

α

$\alpha$

γ

$\gamma$

L C M (a, b) + α + γ < a * b + α + γ

$LCM(a,b) + \alpha+\gamma < a*b+\alpha + \gamma$

α + γ + a + b < n

$\alpha+\gamma+a+b < n$

a * b + α + γ

$a*b+\alpha+\gamma$

n^{2}

$n^2$