Calcolo del numero di bit di una grande potenza di numero intero

Dati due numeri interi e nella rappresentazione binaria, qual è la complessità del calcolo della dimensione in bit di ? $x$ $n$ $x^n$

Un modo per farlo è calcolare calcolando un'approssimazione del con sufficiente precisione. Sembra che il calcolo con bit di precisione possa essere eseguito in dove $1+\lfloor \log_2(x^n)\rfloor=1+\lfloor n\log_2(x)\rfloor$ $\log_2(x)$ $\log_2(x)$ $k$ $O(M(k)\log k)$ è il tempo necessario per calcolare il prodotto di due numeri interi di lunghezza . Questo produce un algoritmo (non particolarmente semplice) di complessità approssimativamente di se è legato alla dimensione in bit di e (se non ho fatto errori). $M(k)$ $k$ $O(s\log^2 s)$ $s$ $x$ $n$

Possiamo battere dove le dimensioni di e (nel caso in cui abbiano dimensioni comparabili)? Esiste un semplice algoritmo per ottenere questa complessità o meglio? $O(s\log^2(s))$ $s$ $x$ $n$

Nota: sono interessato alla complessità di un modello teorico come le macchine di Turing.

complexity-theory time-complexity binary-arithmetic

— Bruno
fonte

suggerire di migrare / "promuovere" questo in

— Teorical

@vzn: Non credo sia utile ...

— Bruno,

perchè no? questa domanda mi ricorda gli attacchi algoritmici alle congetture di Dyson, ad esempio come riportato da RJLipton in 1 , 2

— vzn,

Semplicemente perché ho trovato una risposta alla mia domanda, quindi non ho bisogno di chiedermelo altrove.

— Bruno,

[modifica] Come suggerito, modifico la mia risposta per fornire maggiori dettagli.

La risposta alla mia seconda domanda è no :

Proposizione. Il calcolo fino alla precisione è difficile almeno quanto il calcolo della dimensione in bit di . $\log(x)$ $k$ $x^{2^k}$

Prova. Let denota la dimensione in bit di un numero intero . Si noti innanzitutto che per un numero intero non negativo , la dimensione in bit di è . $|y|$ $y$ $y$ $y$ $1+\lfloor \log y\rfloor$

Pertanto, . Ora è spostato posizioni a sinistra. Quindi si può calcolare il con precisione semplicemente sottraendo alla dimensione in bit di e spostando il risultato posizioni verso destra. $\left|x^{2^k}\right| = 1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$ $2^k\log(x)$ $\log(x)$ $k$ $\log(x)$ $k$ $1$ $x^{2^k}$ $k$

— Bruno
fonte

Perché il numero di bit in

consente di calcolare il

bit di precisione? La tua riduzione funziona davvero? E se il caso speciale in cui

fosse molto più facile / più difficile di tutti gli altri possibili valori di

(non-pot-di-due)? Hai un modo per escludere questa possibilità?

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

\log x

$\log x$

k

$k$

n = 2^{k}

$n=2^k$

n

$n$

— DW

@DW: torno a questa domanda, dopo il commento di vzn. La mia prova è la seguente: il numero di bit di un numero intero

. Pertanto, il numero di bit in

. Inoltre,

è uguale al

ma sposta le posizioni

a sinistra. Pertanto,

ti dà (almeno) i

primi bit di

y

$y$

1 + ⌊ \log y ⌋

$1+\lfloor\log y\rfloor$

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

1 + ⌊ 2^{k} \log x ⌋

$1+\lfloor 2^k\log x\rfloor$

2^{k} \log x

$2^k\log x$

\log x

$\log x$

k

$k$

⌊ 2^{k} \log x ⌋

$\lfloor 2^k\log x\rfloor$

k

$k$

. Pertanto, se è possibile calcolare il numero di bit di

, sottraendo

al risultato, si ottengono i primi

bit del

. Ha senso ciò?

\log x

$\log x$

x^{2^{k}}

$x^{2^k}$

1

$1$

k

$k$

\log x

$\log x$

— Bruno,

Sì, questo ha più senso per me! Soprattutto perché stai solo cercando di mostrare la durezza. Posso incoraggiarti ad aggiornare la tua risposta con questa spiegazione più dettagliata? Grazie per essere tornato a questo e documentare la risposta alla tua domanda.

— DW