# Complessità # implica durezza di approssimazione?

Sia un problema di conteggio noto come # -Complete .P$\Pi$$P$

Implica che è -hard (ovvero non esiste un PTAS per il problema a meno che )?A P X P = N $\Pi$$APX$$P=NP$

No. Il conteggio dei set indipendenti nel grafico è #P -hard, anche per i grafici a 4 regolari, ma Dror Weitz ha dato un PTAS per il conteggio dei set indipendenti di grafici regionali per qualsiasi [3]. (Nel modello di cui scrive, contare gli insiemi indipendenti corrisponde a prendere )d ≤ 5 λ = $d$$d\leq5$$\lambda=1$

Il calcolo del permanente di una matrice 0-1 è anche #P -hard (questo è nell'originale #P paper di Valiant [2]) ma, un po 'meno le tue esigenze, c'è un FPRAS dovuto a Jerrum e Sinclair [1]. Ciò corrisponde al conteggio degli abbinamenti perfetti nei grafici bipartiti.

Riferimenti

[1] Mark Jerrum e Alistair Sinclair, "Approssimazione del permanente". SIAM Journal on Computing , 18 (6): 1149-1178, 1989. ( PDF )

[2] Leslie Valiant, "La complessità del calcolo del permanente". Theoretical Computer Science , 8: 189–201, 1979. ( PDF )

[3] Dror Weitz, "Conteggio delle configurazioni indipendenti fino alla soglia dell'albero". STOC 2006. (Versione completa non pubblicata: PDF .)

Aggiungendo un altro esempio mi sono imbattuto, con un risultato ancora più forte:

Esiste un FPTAS (deterministico) per il problema di contare il numero di corrispondenze in un grafico bipartito di grado limitato, mentre si tratta di un problema completo .$\#P$