Complessità informatica

Qual è la complessità dell'informatica ? $n^{n^2},\;n \in \mathbb{N}$

complexity-theory integers number-theory

— Raffaello
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Che cosa hai provato? Quale macchina e modello di costo presumi?

— Raffaello

Usando la rapida trasformata di Fourier, le moltiplicazioni sui numeri -bit possono essere fatte in time (dove la tilde indica che stiamo ignorando i fattori pollogaritmici). Ripetendo la quadratura, possiamo calcolare con moltiplicazioni e ogni moltiplicazione non comporta un numero maggiore di , che ha all'incirca bit. Quindi il tempo totale richiesto è . $k$ $\tilde{O}(k)$ $n^{n^2}$ $O(\log n)$ $n^{n^2}$ $n^2 \log_2 n$ $\tilde{O}(n^2(\log n)^2)=\tilde{O}(n^2)$

— Micah
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Modificato in risposta ai commenti Il tempo per calcolare può essere scomposto nel tempo richiesto per calcolare e quello richiesto per eseguire . Suppongo che la moltiplicazione di un numero bit per un numero bit richiede esattamente il tempo con il metodo del libro di scuola; aggiunte, ecc. sono tempi costanti. Di conseguenza, il calcolo di richiede tempo. $f(n) = n^{n^2}$ $f_1(n) = n^2$ $n ^ {f_1(n)}$ $m$ $n$ $mn$ $n^2$ $\log_2^2 (n)$

Supponiamo di usare l'espiazione binaria per calcolare . L'esponenziazione binaria esegue due tipi di operazioni nel calcolo di : quadratura del prodotto corrente e moltiplicazione del prodotto corrente per , a seconda che il bit corrente nell'espansione binaria di sia 0 o 1. Nel peggiore dei casi , è una potenza di due, quindi l'espiazione binaria quadrata ripetutamente il suo prodotto attuale fino a quando non raggiunge la risposta. Nota che ha bit, in modo che il numero di tali è . Questo è il caso che analizzeremo ulteriormente di seguito. $f(n)$ $f(n)$ $n$ $n^2$ $n^2$ $n^2$ $m'=\lceil 2 \log_2(n) \rceil$ $m= m'-1$

La prima quadratura richiede tempo, risultando in un a . La seconda quadratura accetta due numeri di bit e viene eseguita in volte, dando luogo a un prodotto bit. Continuando, l' -passaggio richiede volta e genera un prodotto -bit. Questo processo si interrompe al passaggio -esimo; di conseguenza, ci vuole tempo $t_1=\log_2^2(n)$ $o_1=2 \log_2(n)$ $o_1$ $t_2=o_1^2$ $o_2=2o_1$ $i$ $t_i = 4^{i-1}\log^2_2 n$ $o_i=2^{i} \log_2 (n)$ $m$

$T _{exp} =\sum _{[1..m]} t_i = \log_2 ^2 (n) \sum_{[1..m]} 4^i = \frac{4^m -1} {3} \log_2 ^2 n$ .

Quando viene incluso il costo di squadratura iniziale, scopriamo che abbiamo bisogno di più tempo

${T_{exp} + \log_2^2{n}}$

Nota

Ho omesso alcuni piani e soffitti nei calcoli, sperando che non influenzassero materialmente la risposta.
Ho deliberatamente omesso un'analisi basata su a favore di un limite superiore esatto solo per essere rigoroso. $O$
Il ragionamento di cui sopra chiarisce anche perché la mia analisi precedente fosse difettosa. La notazione stata usata in modo rapido e libero e ha omesso convenientemente le costanti in modo che, per esempio, diventasse magicamente . $O$ $\sum t_i$ $O(\log n)$
Le moltiplicazioni possono essere sempre accelerate da FFT e altri metodi.

— PKG
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Come hai ottenuto la complessità di per il calcolo di ?

O (1)

$\mathcal{O}(1)$

n^{2}

$n^{2}$

Sto per dire che la moltiplicazione di due numeri -bit richiede tempo anziché tempo, è necessario calcolarlo anche nel costo dell'espiazione binaria.

n

$n$

O (\log n)

$O(\log n)$

O (1)

$O(1)$

— Mark Dominus,

Si noti che il risultato finale ha bit. È molto difficile calcolare bit in tempo.

n^{2} \log_{2} n

$n^2\log_2 n$

n^{2} \log_{2} n

$n^2\log_2 n$

O (\log n)

$O(\log n)$

Giusto punto, prenderò nota

— PKG

@ThomasAndrews: dipende dalla macchina e dal modello di costo. Non è insolito ipotizzare un modello di RAM con costi contendenti per le aggiunte.

— Raffaello