Problemi che richiedono evidentemente un tempo quadratico

Sto cercando esempi di problemi che hanno un limite inferiore di ) per l'ingresso . $\Omega(|x|^2$ $x$

Il problema deve avere le seguenti proprietà:

prova di runtime per qualsiasi algoritmo - la prima priorità è di avere l'argomento limite inferiore il più semplice possibile. $\Omega(n^2)$
algoritmo, se possibile, anche semplice. $O(n^2)$
Dimensione di output di (o inferiore). Ovviamente qualsiasi problema che richieda un'uscita prolungata richiede almeno un tempo di esecuzione simile, ma non è quello che sto cercando. Si noti che qualsiasi problema decisionale si adatta qui. $O(n)$ $\Omega(n^2)$
(se possibile) un problema "naturale". Senza una definizione formale, è preferibile un problema che qualsiasi laureato in CS riconoscerebbe.

Recentemente mi è stato chiesto di questo problema ma non ne ho trovato uno semplice. Il primo problema che mi è venuto in mente è stato , che è stato ipotizzato essere un problema di runtime . Questo non era abbastanza semplice e, inoltre, la struttura è stata recentemente dimostrata falsa : o. $3SUM$ $\Omega(n^2)$

Andando a un problema estremamente innaturale, ritengo che il problema che ottiene ingresso un TM deterministica e ingresso , e restituisce la posizione della testa di nastro dopo passi quando è l'esecuzione su probabilmente risponde alla domanda. $\langle M \rangle,x$ $(|M|+|x|)^2$ $x$

Se è assolutamente necessario, concordiamo sul fatto che stiamo utilizzando il modello TM a nastro singolo, anche se preferisco i problemi il cui runtime è indipendente dal modello esatto (purché sia ragionevole).

Quindi, possiamo trovare un problema semplice (da provare), naturale (ben noto) il cui tempo di esecuzione è ? $\Theta(n^2)$

— RB
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Penso che "Dati i numeri naturali

, calcola

" si qualifica. Inoltre, nota questa domanda .

x

$x$

y

$y$

x + y

$x+y$

— Raffaello

L'unico modo in cui sappiamo come dimostrare limiti inferiori superlineari su macchine Turing multitape è attraverso la diagonalizzazione. Per le macchine Turing a nastro singolo, puoi migliorare un po 'usando le sequenze incrociate, ma non fino a

meno che tu non limiti lo spazio.

n^{2}

$n^2$

— Yuval Filmus,

Vedi qui per un'altra domanda correlata; l'inversione dell'input sembra essere un buon candidato.

— Raffaello

Non penso che tu possa farlo con un problema decisionale, perché il limite inferiore trovato migliore per NP è O (n).

— Albert Hendriks,

Grazie per il tuo commento @AlbertHendriks. Puoi condividere un riferimento a una fonte / indagine affermando che il limite inferiore più noto per qualsiasi problema in NP è

Ω (n)

$\Omega(n)$

— RB

Trovare una torta senza invidia richiede query. Tuttavia, questo non risponde direttamente alla tua domanda poiché il modello computazionale è diverso da una macchina di Turing. $\Omega(n^2)$

A proposito, attualmente l' algoritmo più veloce conosciuto per questo problema richiede query, quindi c'è un enorme divario dal limite inferiore - probabilmente uno dei più grandi divari nell'informatica. $n^{n^{n^{n^{n^{n}}}}}$

— Erel Segal-Halevi
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$\Theta(n^2)$

L = {x 0^{| x |} x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{x0^{|x|}x \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$

Θ (n^{2})

$\Theta(n^2)$

E Q_{n}

$EQ_n$

Θ (n)

$\Theta(n)$

L

$L$

L = {x x ∣ x \in {0, 1}^{*}}

$L = \{xx \mid x \in \{0,1\}^\ast \}$

A proposito, vale la pena ricordare che il "metodo della sequenza di attraversamento" menzionato da Yuval è (per la mia migliore conoscenza) matematicamente equivalente (o, forse, inforior) a quello della complessità della comunicazione.

$\mathsf{SAT}$ $O(n^{2 \cos(\pi/7)})$ $n^{o(1)}$ $2 \cos(\pi/7) \approx 1.8$

— Lwins
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