Problema somma sottoinsieme con molte condizioni di divisibilità

Sia $S$ un insieme di numeri naturali. Consideriamo $S$ nell'ordine parziale di divisibilità, ovvero . Permettere $s_1 \leq s_2 \iff s_1 \mid s_2$

$\qquad \displaystyle \alpha(S) = \max \{|V| \mid V\subseteq S, V$ an antichain $\}$ .

Se consideriamo il problema della somma dei sottoinsiemi in cui il multiset di numeri è in $S$ , cosa possiamo dire della complessità del problema relativo a $\alpha(S)$ ? È semplice vedere se $\alpha(S)=1$ , quindi il problema è semplice. Nota che è facile anche per il problema dello zaino più difficile quando $\alpha(S)=1$ ^$\dagger$ .

$\dagger$ Risolvere problemi sequenziali di zaini di M. Hartmann e T. Olmstead (1993)

complexity-theory number-theory knapsack-problems

— Chao Xu
fonte

Invece di "relazione", suggerisco di usare i termini "ordine parziale". Inoltre, con il minimo pensiero, il problema con le monete di Frobenius potrebbe essere rilevante (ovviamente, non sono sicuro, però)

— Aryabhata,

Questo problema può essere risolto in tempo polinomiale usando la programmazione lineare, e questo è vero per qualsiasi ordine parziale . A proposito, possiamo indurre per induzione che per qualsiasi insieme di ordine parziale finito , esiste un insieme finito e una biiezione , tale che per tutti gli $(S,\le)$ $(S,\le)$ $S'\subseteq\mathbb{N}$ $f:S\rightarrow S'$ . $s_1,s_2\in S, s_1\le s_2 \Leftrightarrow f(s_1) | f(s_2)$

Lasciate l'insieme formato dalle catene in . Ricorda che è una catena iff per tutti in , o $\mathcal{C}$ $S$ $C$ $v,v'$ $C$ $v\le v'$ $v'\le v$

Ora creare un booleano variabile per ogni , ed un booleano variabile per ogni catena . Possiamo scrivere il seguente programma lineare per il nostro problema: $x_v$ $v\in S$ $y_C$ $C$ $(P)$

\begin{aligned} Max \sum_{v \in S} x_{v} \\ subject to \sum_{v \in C} & x_{v} \leq 1, \forall C \in C \\ X_{v} \in {0, 1}, v \in S \end{aligned}

$\begin{split} \text{Max} \displaystyle\sum\limits_{v\in S} x_v \\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{v\in C} &x_v \le 1, \forall C\in\mathcal{C}\\ &x_v \in \{0,1\}, v\in S \end{split}$

e il suo doppio : $(D)$

\begin{aligned} min \underset{C \in C}{Σ} y_{C} \\ soggetto a \underset{C : v \in C}{Σ} & y_{C} \geq 1, \forall v \in S \\ y_{C} \in {0, 1}, C \in C \end{aligned}

$\begin{split} \text{Min} \displaystyle\sum\limits_{C\in \mathcal{C}} y_C\\ \text{subject to} \displaystyle\sum\limits_{C:v\in C} &y_C \ge 1, \forall v\in S\\ &y_C \in \{0,1\}, C\in \mathcal{C} \end{split}$

Quindi il problema di trovare la copertura minima di un set ordinato per catene è il doppio del nostro problema. Il teorema di Dilworth afferma che

Esiste un antichain A e una partizione dell'ordine in una famiglia P di catene, in modo tale che il numero di catene nella partizione sia uguale alla cardinalità di A

il che significa che la soluzione ottimale di questi due problemi corrisponde: $Opt(P)=Opt(D)$

Sia ( resp. ) il rilassamento di ( resp. ), ovvero lo stesso programma lineare in cui tutti i vincoli ( resp. $(P^*)$ $(D^*)$ $(P)$ $(D)$ $x_v\in\{0,1\}$ $y_C\in\{0,1\}$ ) sono sostituiti da ( risp. $x_v\in [0,1]$ ). Sia e loro soluzioni ottimali. Poiché abbiamo: $y_C\in [0,1]$ $Opt(P^*)$ $Opt(D^*)$ $\{0,1\}\subseteq [0,1]$ e il teorema della dualità debole stabilisce che quindi unendo tutto ciò che abbiamo:

O p t (P) \leq O p t (P^{*}) e O p t (D^{*}) \leq O p t (D)

$Opt(P)\le Opt(P^*) \text{ and } Opt(D^*)\le Opt(D)$

O p t (P^{*}) \leq O p t (D^{*})

$Opt(P^*)\le Opt(D^*)$

O p t (P) = O p t (P^{*}) = O p t (D^{*}) = O p t (D)

$Opt(P)= Opt(P^*)=Opt(D^*)=Opt(D)$

$Opt(P^*)$ $=Opt(P)$ $X$ $s_1,s_2\in X$ $s_1\le s_2$ $s_2\le s_1$ $X$ $\{v_1,v_2\}$

— Mathieu Mari
fonte

x

$x$

x

$x$

x

$x$

Grazie per aver spiegato perché il numero esponenziale di vincoli non è un problema e la rilevanza della dualità. Molto bella!

— DW