Dimensione del circuito per "almeno n ingressi sono veri"

Di 'che hai $m$ input booleani e ti viene data una soglia $n$. Devi costruire un circuito booleano che valuti se vero almeno$n$degli input true. È possibile utilizzare porte AND, OR, NOT o XOR (limitate al fan-in due, con fan-out arbitrario). Asintoticamente quanto è piccolo questo circuito?

Ogni limite superiore ragionevolmente stretto sarebbe apprezzato. Continuo a pensare a modi per costruire ricorsivamente un tale circuito ma non riesco a trovare niente di buono. Inoltre, sarebbe utile qualsiasi risultato per qualsiasi altra base ragionevole di porte consentite.

Da S. Chaudhuri, J. Radhakrishnan. Restrizioni deterministiche nella complessità del circuito :

Teorema 6.1 : Un circuito di elaborazione$T_k^n$ con $k \leq n^{1/3}$ ha $\Omega(k^2(\ln n)/\ln k)$ cancelli

Dove $T_k^n$ è la funzione booleana che ha almeno il valore 1 iff $k$dei suoi ingressi ha il valore 1 ( funzione soglia ).

Possiamo ottenere una sorta di limite superiore da alcune inclusioni di complessità.

$TC^{0}$ è la classe di circuiti booleani a dimensione costante polinomiale in cui abbiamo anche un $MAJORITY$ gate del fan-in illimitato, quindi c'è una dimensione $1$ $TC^{0}$ circuito che calcola la funzione desiderata (una $MAJ$ gate con tutti gli input diretti).

$NC^{1}$ è la classe di circuiti booleani di dimensione polinomiale e $O(\log n)$profondità (ma qui abbiamo solo le porte normali). È risaputo che$TC^{0} \subseteq NC^{1}$, quindi nel peggiore dei casi, è possibile calcolare $MAJ$ con una poli-dimensione $O(\log n)$ circuito di profondità.

Sospetto che sia solo necessario $MAJ$, possiamo fare di meglio, ma non sono ancora riuscito a ottenere un buon riferimento per questo. La "Introduzione alla complessità del circuito" di Vollmer dovrebbe avere la riduzione, ma non ne ho una copia disponibile. Dovrebbe anche essere una riduzione uniforme (cioè per un input di dimensioni$n$ possiamo produrre in modo efficiente il circuito appropriato).

Questa domanda su cstheory.SE potrebbe anche contenere qualcosa di utile, ma è piuttosto tecnica.

con $T_k^n$ una funzione di soglia standard definita come nella risposta Vors, $T_k^n$è una funzione simmetrica. il 2.11.1 in Savage [1] dà a$O(n)$ circuito di dimensioni.

[1] Modelli di calcolo , John E Savage