Dimensione del circuito per "almeno n ingressi sono veri"


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Di 'che hai m input booleani e ti viene data una soglia n. Devi costruire un circuito booleano che valuti se vero almenondegli input true. È possibile utilizzare porte AND, OR, NOT o XOR (limitate al fan-in due, con fan-out arbitrario). Asintoticamente quanto è piccolo questo circuito?

Ogni limite superiore ragionevolmente stretto sarebbe apprezzato. Continuo a pensare a modi per costruire ricorsivamente un tale circuito ma non riesco a trovare niente di buono. Inoltre, sarebbe utile qualsiasi risultato per qualsiasi altra base ragionevole di porte consentite.


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Dovresti rimuovere "..." seguendo le porte ed elencare tutte le porte che ritieni accettabili. Altrimenti non è possibile rispondere alla tua domanda, ad esempio se assumiamo che il gate di soglia (che è il nome del gate di cui stai chiedendo) sia nell'elenco, la risposta è banale. Dovresti anche dichiarare se hai o meno porte di accesso illimitate.
Kaveh,

Risposte:



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Possiamo ottenere una sorta di limite superiore da alcune inclusioni di complessità.

TC0 è la classe di circuiti booleani a dimensione costante polinomiale in cui abbiamo anche un MAJORITY gate del fan-in illimitato, quindi c'è una dimensione 1 TC0 circuito che calcola la funzione desiderata (una MAJ gate con tutti gli input diretti).

NC1 è la classe di circuiti booleani di dimensione polinomiale e O(logn)profondità (ma qui abbiamo solo le porte normali). È risaputo cheTC0NC1, quindi nel peggiore dei casi, è possibile calcolare MAJ con una poli-dimensione O(logn) circuito di profondità.

Sospetto che sia solo necessario MAJ, possiamo fare di meglio, ma non sono ancora riuscito a ottenere un buon riferimento per questo. La "Introduzione alla complessità del circuito" di Vollmer dovrebbe avere la riduzione, ma non ne ho una copia disponibile. Dovrebbe anche essere una riduzione uniforme (cioè per un input di dimensionin possiamo produrre in modo efficiente il circuito appropriato).

Questa domanda su cstheory.SE potrebbe anche contenere qualcosa di utile, ma è piuttosto tecnica.


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con Tkn una funzione di soglia standard definita come nella risposta Vors, Tknè una funzione simmetrica. il 2.11.1 in Savage [1] dà aO(n) circuito di dimensioni.

[1] Modelli di calcolo , John E Savage

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