Esiste un algoritmo efficiente per l'equivalenza delle espressioni?

ad es. $xy+x+y=x+y(x+1)$ ?

Le espressioni provengono dalla normale algebra del liceo, ma sono limitate all'aggiunta e alla moltiplicazione aritmetica (ad es. $2+2=4; 2.3=6$ ), senza inversioni, sottrazioni o divisioni. Le lettere sono variabili.

Se aiuta, possiamo vietare qualsiasi espressione rappresentabile con valori numerici diversi da $1$ ; cioè non $x^2$ né $3x$ né $4$ :

multilineare , nessun potere diverso da $1$ : $x+xy \equiv x^1+x^1y^1$ è OK, ma non $x^2+x^3y^4$ , e non tutto ciò che potrebbe essere rappresentato come quello, come in una piena espansione per riassumere -di-prodotti, ad esempio non $x(x+y) \equiv x^2+y$ ;
tutto uno , nessun coefficiente diverso da $1$ : $x+xy \equiv 1.x+1.xy$ è OK, ma non $2x+3xy$ , e non tutto ciò che potrebbe essere rappresentato come quello, come in una piena espansione a somma dei prodotti, ad es. non $a(x+y)+x(a+b) \equiv 2ax+ay+bx$ ; e
nessuna costante diversa da $1$ : di nuovo, nella somma dei prodotti completamente espansa, ad es. no $(a+1)+(b+1) \equiv a+b+2$

$Q.$ Esiste un algoritmo efficiente per determinare se due espressioni sono equivalenti?

Per illustrare, ecco un inefficiente algoritmo a forza bruta con tempo esponenziale:

espandi completamente entrambe le espressioni alla somma dei prodotti , che può essere facilmente verificata per equivalenza (basta ignorare l'ordine, poiché il tragitto giornaliero / associato può essere riordinato).

es.
$(a+b)(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$
$a(x+y)+b(x+y) \rightarrow ax+ay+bx+by$

Questo sembra un problema ben noto - anche agli studenti delle scuole superiori vengono insegnati modi manuali per risolverlo. È anche risolto da tester / controllori di teoremi automatizzati, ma si concentrano su aspetti più sofisticati.

Ecco un proveratore di teoremi automatizzato online funzionante: http://tryacl2.org/ , che mostra l'equivalenza trovando una sequenza di permuta / associa / distribuisci ecc:

? --- 188 passaggi $xy+x+y=x+y(x+1)$
(thm (= (+ (* x y) x y) (+ x (* y (+ x 1))) ))

? --- 325 passi $y+x(y+1)=x+y(x+1)$
(thm (= (+ y (* x (+ y 1))) (+ x (* y (+ x 1))) ))

Questa è la mia prima domanda qui, quindi per favore fatemi sapere se ho scelto il posto sbagliato, i tag sbagliati, il modo sbagliato di descrivere / chiedere ecc. Grazie!
NB: questa domanda è stata riscritta in risposta ai commenti
Grazie a tutti i rispondenti! Ho imparato molto

complexity-theory time-complexity decision-problem

— hyperpallium
fonte

La domanda qui necessita di alcuni chiarimenti. In quale campo stai operando? Gli oggetti come "

" e "

" nelle espressioni sono elementi del campo o delle variabili? In realtà è un campo (cioè, l'addizione e la moltiplicazione hanno inversioni)? Nota che la somma dei prodotti non aiuta perché

ha esponenzialmente molti termini.

a

$a$

b

$b$

(a_{1} + b_{1}) (a_{2} + b_{2}) \dots (a_{n} + b_{n})

$(a_1+b_1)(a_2+b_2)\cdots(a_n+b_n)$

— David Richerby,

Se gli oggetti sono variabili e la sottrazione è consentita, allora stai essenzialmente chiedendo il test di identità polinomiale, che ha un algoritmo di tempo polinomiale randomizzato dal lemma di Schwartz-Zippel .

iff

e l'idea di base è che un polinomio che non è identicamente zero non abbia molte radici, quindi se inizi a indovinare le radici a caso e trova molte radici, c'è un'alta probabilità che il tuo polinomio fosse identicamente zero.

f (x) = g (x)

$f(x)=g(x)$

f (x) - g (x) = 0

$f(x)-g(x)=0$

— David Richerby

Sono sorpreso che nessuno lo abbia ancora menzionato, ma "se è in NP non devo preoccuparmi di trovare un algoritmo polinomiale" non ha senso. Ogni problema in P è anche in NP. Probabilmente intendevi chiedere se il problema è NP-complete (o -hard).

— Tom van der Zanden,

Se hai difficoltà con le basi, le nostre domande di riferimento potrebbero esserti utili.

— Raffaello

@hyperpallium Prima di chiedere se una lingua (cioè un problema decisionale) è in NP, è meglio se hai capito cosa significa. Forse le domande di riferimento a cui Raphael si collegava avrebbero aiutato.

— Yuval Filmus,

Risposte:

Il problema si riduce a zero test dei polinomi multivariati, per i quali esistono algoritmi randomizzati efficienti.

Le tue espressioni sono tutti polinomi multivariati. Apparentemente, le tue espressioni sono costruite dalle seguenti regole: (a) se è una variabile, allora è un'espressione; (b) se è una costante, allora è un'espressione; (c) se sono espressioni, allora ed sono espressioni. Se è proprio quello che intendevi, ogni espressione è un polinomio multivariato sulle variabili. $x$ $x$ $c$ $c$ $e_1,e_2$ $e_1+e_2$ $e_1e_2$

Ora, vuoi sapere se due espressioni sono equivalenti. Ciò equivale a verificare se due polinomi multivariati sono equivalenti: dati e , si desidera sapere se questi due polinomi sono equivalenti. Puoi verificarlo sottraendoli e controllando se il risultato è identicamente zero: definisci $p_1(x_1,\dots,x_n)$ $p_2(x_1,\dots,x_n)$

q (x_{1}, \dots, x_{n}) = p_{1} (x_{1}, \dots, x_{n}) - p_{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) .

$q(x_1,\dots,x_n) = p_1(x_1,\dots,x_n) - p_2(x_1,\dots,x_n).$

Ora sono equivalenti se e solo se è il polinomio zero. $p_1,p_2$ $q$

Verificare se è identicamente zero è il problema del test zero per i polinomi multivariati. Ci sono algoritmi efficienti per questo. Ad esempio, un algoritmo di esempio è valutare a molti valori casuali di . Se trovi un valore di tale che , allora sai che $q$ $q(x_1,\dots,x_n)$ $x_1,\dots,x_n$ $x_1,\dots,x_n$ $q(x_1,\dots,x_n)$ $q$ non è identicamente zero, cioè non sono equivalenti. Se dopo molte prove sono tutte zero, allora puoi concludere che è identicamente zero (se non è identicamente zero, la probabilità che tutte queste prove producano zero può essere resa esponenzialmente bassa). Il numero di iterazioni che devi fare è correlato al grado di ; vedere la letteratura sui test di identità polinomiale per i dettagli. $p_1,p_2$ $q$ $q$ $q$

Ad esempio, vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Schwartz%E2%80%93Zippel_lemma e http://rjlipton.wordpress.com/2009/11/30/the-curious-history-of-the- Schwartz-Zippel-lemma /

Questi algoritmi si applicano se si lavora su un campo finito. Lei non ha precisato quale campo / anello si sta lavorando, e se si sta trattando queste espressioni come espressioni formali (ad esempio, polinomi come oggetti astratti) o come funzioni da . Se stai lavorando su un campo finito, i metodi sopra indicati si applicano immediatamente. $\mathbb{F}^n \to \mathbb{F}$

Se stai trattando le espressioni come oggetti formali, le tue espressioni sono equivalenti a polinomi multivariati con coefficienti interi. È possibile verificare l'equivalenza di questi, scegliendo un grande primo caso e test di equivalenza modulo , vale a dire, nel campo . Ripeti questo polinomialmente molte volte, con diversi valori casuali di , e dovresti ottenere un algoritmo randomizzato efficiente per testare l'equivalenza di queste espressioni formali. $r$ $r$ $\mathbb{Z}/r\mathbb{Z}$ $r$

— DW
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D'altra parte, sarebbe difficile dimostrare che per ogni espressione identicamente zero, vi è una prova non troppo lunga che l'espressione è identicamente zero.

$\;$

@RickyDemer, ottimo punto! Bella osservazione. Ho interpretato la domanda chiedendo di provare l'equivalenza piuttosto che provarla, ma è una osservazione molto bella. (Se si desidera esibire una prova di equivalenza in pratica, sospetto che sia possibile esibire tale prova se si è disposti a fare ipotesi crittografiche, per una definizione di "prova" - ad esempio, uno schema che raggiunge la solidità nella modello di oracolo casuale.)

— DW

Grazie! Li sto trattando come oggetti formali, senza inversioni, divisioni o sottrazioni (ma uso l'algebra del liceo per questa domanda; sembra più probabile che sia già stato risolto). Vuoi dire, continuare a scegliere grandi numeri primi casuali

, e questo sta trattando le espressioni come se fossero campi finiti sull'insieme sottostante di numeri interi

? Quel link wiki dice che non esiste un algoritmo deterministico sub-esponenziale noto per questo test zero. Sai se questo si applica al mio problema?

r

$r$

[0.. r - 1]

$[0..r-1]$

— iperpallium

@Iperpallium, sì, è esattamente quello che intendo. Sì, credo che valga anche per il tuo problema. Ecco perché ho suggerito un algoritmo randomizzato: esistono algoritmi randomizzati efficienti, anche se non sono noti algoritmi deterministici efficienti.

— DW

Come sottolineato in un commento sopra, il PO non sta funzionando in un campo finito, ma piuttosto un semenzaggio commutativo. Ciò significa che non è garantito che esistano inversioni additive, quindi "sottrarre" le espressioni per verificare l'uguaglianza con zero non è un'operazione valida.

— apnorton,

Per dare seguito ai vincoli di una potenza , di una sola e di una costante nella domanda:

Questi definiscono un sottoinsieme il problema del test di identità polinomiale. Chiaramente, possono essere risolti con una tecnica che risolve il problema generale. La domanda è se formano un sottoinsieme che è più facile da risolvere.

$(a+b)^n$ $(a+b)(a+b) = aa+ab+ab+bb = aa+2ab+bb$ $(aa+2ab+bb)(a+b) = aaa+2aab+abb + aab+2abb+bbb = aaa+3aab+3abb+bbb$ and again terms are combined, making a smaller simpler problem. This combining of terms is a form of dynamic programming.

That is, the possibility of combining terms, creating a non-one coefficient, makes the problem easier not harder.

(Although there is more work in calculation in multiplying non-one coefficients)

non-one constants are included in the above argument by considering constants as variables with zero exponent.

one-power I don't think this makes any difference. Although non-one exponents can be created in more than one way (e.g. $a^4=a^2a^2=a^1a^3$ ), and this can lead to overlap and combination (as in the Binomial Theorm/Pascal's triangle above), actual combination is only possible if non-one coefficients are allowed.

The above is not a formal or rigorous argument. It rests on an assumption about what makes the problem difficult. But it does seem to me that combining terms only makes for an easier problem - so preventing this by the one coefficient constraint is not going to make the subset easier.

— hyperpallium
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