Isomorfismo di gruppo per rappresentare graficamente l'ismorfismo

Nel leggere alcuni blog sulla complessità computazionale (ad esempio qui ) ho assimilato l'idea che decidere se due gruppi sono isomorfi sia più facile che testare due grafici per l'isomorfismo. Ad esempio, nella pagina dichiarata si dice che l'isomorfismo grafico è un problema più generale dell'isomorfismo di gruppo.

Quindi sto proponendo quanto segue

Dato un gruppo qualcuno può dare una costruzione di un grafico Γ ( G ) di dimensioni polinomiali in | G | tale che Γ ( G ) ≅ Γ ( H $G$$\Gamma(G)$$|G|$ per i gruppi G e H

$$\Gamma(G) \cong \Gamma(H) \iff G \cong H$$ $G$$H?$

La riduzione è descritta in un classico documento di Miller.

Non così in fretta. C'è una grande ambiguità in agguato qui:

Come si inserisce il proprio gruppo per il calcolo?

A differenza dei grafici, i gruppi possono essere input in quanto sono molto diversi in termini di dimensioni dell'input e complessità risultante. La versione citata in Miller è una delle meno naturali e, ad esempio, non la troverai in un sistema di algebra del computer come GAP, Magma o Sage. Quindi, sebbene abbia una premessa teorica, sarebbe andare troppo lontano per definire il problema.

1. Generatori e relazioni: l'isomorfismo di gruppo è indecidibile (l'isomorfismo grafico è decidibile).

$G$$G=1$

Per i gruppi introdotti dai generatori e dalle relazioni: l'isomorfismo di gruppo è più difficile dell'isomorfismo grafico, in realtà non è leggibile.

2. Ingressi utilizzati dai sistemi software: l'isomorfismo di gruppo di permutazione e gruppi di matrici è almeno altrettanto duro dell'isomorfismo grafico (non viceversa).

$p$

Per i gruppi di input per i sistemi software: l'isomorfismo di gruppo è difficile almeno quanto l'isomorfismo grafico.

3. Input di complessità teorica: per un input di gruppo black-box, l'isomorfismo di gruppo non è noto per essere in NP o co-NP (l'isomorfismo grafico è in entrambi).

$\Sigma^2$$f:G\to H$$G$$H$$f$è un omomorfismo valido. Almeno sembrerebbe che abbiate bisogno di una presentazione dei gruppi, e ciò non è facile da ottenere.

Per i gruppi black-box: l'isomorfismo di gruppo è difficile almeno quanto l'isomorfismo grafico.

4. Ingressi tabella Cayley.

Qualche volta negli anni '70 Tarjan, Pultr-Hederlon, Miller e altri hanno osservato che i gruppi immessi dalla loro intera tabella di moltiplicazione potevano anche essere trattati come grafici. In questo modo l'isomorfismo di gruppo si riduce all'isomorfismo grafico nel tempo polinomiale. Miller è andato molto oltre con questa osservazione osservando che numerose strutture combinatorie fanno lo stesso, ad esempio le triple di Steiner. Ha anche dimostrato che l'isomorfismo semigruppo equivale all'isomorfismo grafico.

$n^{O(\log n)}$

Per le tabelle di Cayley: l'isomorfismo di gruppo si riduce all'isomorfismo grafico.

$n$$O((\log n)^3)$

$n$$O(n^2 \log n)$