XOR-SAT generalizzato è risolvibile efficacemente?

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Ho visto come XOR-3-SAT sia risolvibile in modo efficiente (ad esempio, vedere la sezione "Soddisfazione XOR" nella voce Wikipedia per il problema di soddisfacibilità booleana ).

Mi chiedo una domanda di base: XOR-k-SAT è risolvibile in modo efficiente, per formule con quantità variabili di letterali per clausola?

Mi piacerebbe davvero sapere se possiamo aumentare la quantità di letterali per clausola oltre 3 e se possiamo avere lunghezze di clausole miste.

complexity-theory satisfiability

— Matt Groff
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Che ricerca hai fatto? Ci aspettiamo che tu faccia uno sforzo serio da solo, prima di fare una domanda e che ci mostri nella domanda quale ricerca hai fatto e cosa hai provato. Wikipedia afferma che l'algoritmo per risolvere XOR-3-SAT è l'eliminazione gaussiana. Hai tentato di capire come funziona e vedere se si applica a XOR-k-SAT?

— DW

@DW Ammetto di non aver fatto molte ricerche al riguardo. Ho visto la menzione dell'eliminazione gaussiana e ho pensato che avrebbe funzionato per XOR-SAT generalizzato. Ma credo che stavo cercando conferma. Spero che perdonerai la mia pigrizia. Proverò a fare ulteriori ricerche in futuro, prima di porre domande come questa.

— Matt Groff,

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Sembra che l'articolo di Wikipedia a cui ti sei collegato dice che XORSAT (non solo 3-XORSAT) è in P. Il metodo con cui stanno risolvendo la formula 3-XORSAT nel loro esempio si generalizza molto facilmente a formule in cui le clausole possono avere arbitrariamente un gran numero di variabili e diversi numeri di variabili.

Osserva semplicemente la formula come un sistema di equazioni lineari in cui hai un'equazione per ogni clausola e una variabile per ogni variabile. Ad esempio, la formula:

(x_{1} \oplus x_{2} \oplus \neg x_{3} \oplus x_{5}) \land (x_{2} \oplus x_{3})

$(x_1\oplus x_2\oplus\lnot x_3\oplus x_5)\land (x_2\oplus x_3)$

ha un compito soddisfacente se e solo se il seguente sistema di equazioni ha una soluzione:

x_{1} + x_{2} + (1 + x_{3}) + x_{5} \equiv 1 \mod 2

$x_1+x_2+(1+x_3)+x_5\equiv 1 \mod 2$

x_{2} + x_{3} \equiv 1 \mod 2

$x_2+x_3\equiv 1 \mod 2$

E possiamo trovare soluzioni a sistemi lineari di equazioni come queste in tempi polinomiali usando l'eliminazione gaussiana!

— Dylan McKay
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Sì. È risolvibile per eliminazione gaussiana. L'eliminazione gaussiana può risolvere qualsiasi sistema di equazioni che è modulo lineare. XOR funge da modulo aggiuntivo 2, quindi ogni clausola XOR-SAT funge da equazione lineare modulo 2. Di conseguenza, l'eliminazione gaussiana può risolvere qualsiasi formula XOR-k-SAT o qualsiasi formula XOR-SAT, anche se vi è un numero variabile di letterali per clausola o lunghezze di clausole miste, in tempo polinomiale.

— DW
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