Perché i teoremi di Shaefer e Mahaney non implicano P = NP?

Sono sicuro che qualcuno ci abbia pensato prima o lo abbia immediatamente respinto, ma perché la teoria della dicotomia di Schaefer insieme al teorema di Mahaney su insiemi sparsi non implica P = NP?

Ecco il mio ragionamento: creare una lingua che è uguale a SAT intersecata da un insieme sparso infinito decidibile. Quindi anche deve essere rado. Poiché non è banale, affine, 2-sat o Horn-sat, dal teorema di Shaefer deve essere NP-completo. Ma poi abbiamo un set completo di NP completo così dal teorema di Mahaney, P = NP.$L$$L$$L$

Dove sto sbagliando qui? Ho il sospetto che sto fraintendendo / applicando erroneamente il teorema di Shaefer, ma non vedo perché.

$\mathrm{SAT}(S)$$\mathrm{CSP}(\Gamma)$$L$