Quali sono gli esempi più semplici di programmi che non sappiamo se terminano?

Il problema di arresto indica che non esiste un algoritmo che determinerà se un determinato programma si arresta. Di conseguenza, dovrebbero esserci programmi sui quali non possiamo dire se terminano o meno. Quali sono gli esempi più semplici (più piccoli) conosciuti di tali programmi?

Un esempio piuttosto semplice potrebbe essere un programma che verifica la congettura di Collatz :

È noto che si fermi per $n$ fino a almeno $5 × 2^{60} ≈ 5.764 × 10^{18}$ , ma in generale è un problema aperto.

Il problema di arresto indica che non esiste un algoritmo che determinerà se un determinato programma si arresta. Di conseguenza, dovrebbero esserci programmi sui quali non possiamo dire se terminano o meno.

"Noi" non siamo un algoritmo =) Non esiste un algoritmo generale che possa determinare se un determinato programma si arresta per ogni programma .

Quali sono gli esempi più semplici (più piccoli) conosciuti di tali programmi?

Considera il seguente programma:

n = 3
while true:
    if is_perfect(n):
            halt()
    n = n + 2

La funzione is_perfect controlla se n è un numero perfetto . Non è noto se ci siano numeri perfetti dispari, quindi non sappiamo se questo programma si interrompe o meno.

Scrivi:

Il problema di arresto indica che non esiste un algoritmo che determinerà se un determinato programma si arresta. Di conseguenza, dovrebbero esserci programmi sui quali non possiamo dire se terminano o meno.

Questo è un non sequitur, in entrambe le direzioni. Ti arrendi a un errore comune che vale la pena affrontare.

$P$$P$$P$

Solo se si richiede che l'algoritmo risolva il problema di Halting per tutti i programmi¹, è possibile dimostrare che tale algoritmo non può esistere.

Ora, sapere che il problema di Halting è indecidibile non implica che ci siano programmi di cui nessuno può provare la conclusione o il looping. Anche se non sei più potente di una macchina di Turing (che è solo un'ipotesi, non un fatto provato), tutto ciò che sappiamo è che nessun singolo algoritmo / persona può fornire tale prova per tutti i programmi. Potrebbe esserci una persona diversa che può decidere per ciascun programma.

Alcune letture più correlate:

• Come si può decidere se π$\pi$
• Potenza di calcolo umana: gli umani possono decidere il problema di arresto su Turing Machines?
• Algoritmo per risolvere il "problema di arresto" di Turing
• Sintesi del programma, decidibilità e problema di arresto
• È possibile risolvere il problema di arresto se si dispone di un input vincolato o prevedibile?
• Perché le funzioni totali non sono enumerabili?

Quindi vedi che la tua vera domanda (come ripetuto di seguito) non ha nulla a che fare con se il problema dell'arresto sia calcolabile. Affatto.

Quali sono gli esempi più semplici (più piccoli) conosciuti di [programmi che non sappiamo arrestare o eseguire in loop]?

$S$

$\qquad\displaystyle g(n) = \begin{cases}1, &S \text{ true},\\ g(n+1), &\text{else}.\end{cases}$

Certo, questi non sono molto "naturali".

1. Non necessariamente tutti , ma "molti" in un certo senso. Infinitamente molti, almeno.

Qualsiasi problema aperto relativo all'esistenza di un numero con proprietà particolari dà origine a tale programma (quello che cerca tale numero). Ad esempio, prendi la congettura di Collatz; poiché non sappiamo se sia vero, non sappiamo nemmeno se il seguente programma termina:

    n:=1;
    found:=false;
    while not found do
      s:={};
      i:=n;
      while i not in s do
        add i to s;
        if i even then i:=i/2 else i:=3i+1
      if 1 not in s then found:=true;
      n:=n+1  

Dato che il problema del Castoro indaffarato non viene risolto per una macchina di Turing a 5 stati con 2 simboli, deve esserci una macchina di Turing con solo cinque stati e solo due simboli che non hanno mostrato di arrestarsi o meno quando avviato per un nastro vuoto . Questo è un programma molto breve, conciso e chiuso.

la domanda è complicata perché la decidibilità (la formalizzazione / generalizzazione equivalente di CS del problema di arresto) è associata alle lingue, quindi deve essere rifusa in quel formato. questo sembra non essere sottolineato molto, ma molti problemi aperti in matematica / CS possono essere prontamente convertiti in problemi (lingue) di decidibilità sconosciuta. ciò è dovuto alla stretta corrispondenza tra dimostrazione del teorema e analisi (non) di decidibilità. per esempio (un po 'come l'altra risposta con numeri dispari perfetti), prendi la congettura dei numeri primi gemelli che risale ai Greci (oltre 2 millenni fa) ed è soggetta a importanti avanzamenti recenti della ricerca, ad esempio di Zhang / Tao. convertilo in un problema algoritmico come segue:

Ingresso: n . Uscita: S / N esistono almeno n numeri primi gemelli.

l'algoritmo cerca numeri primi gemelli e si ferma se ne trova n . non è noto se questa lingua sia decidibile. la risoluzione del problema dei numeri primi gemelli (che chiede se ci sono numeri finiti o infiniti) risolverebbe anche la decidibilità di questo linguaggio (se è anche provato / scoperto quanti ce ne sono, se finiti).

un altro esempio, prendi l' ipotesi di Riemann e considera questa lingua:

Ingresso: n . Output: S / N esistono almeno n zero non banali della funzione zeta di Riemann.

l'algoritmo cerca zero non banali (il codice non è particolarmente complesso, è simile alla ricerca di radici, e ci sono altre formulazioni equivalenti che sono relativamente semplici, che fondamentalmente calcolano somme di "parità" di tutti i numeri primi inferiori a x etc) e si interrompe se ne trova n e di nuovo, non è noto se questo linguaggio sia decidibile e la risoluzione sia "quasi" equivalente alla soluzione della congettura di Riemann.

ora, che ne dici di un esempio ancora più spettacolare? ( avvertimento, probabilmente anche più controverso)

Input: c: Output: Y / N esiste un algoritmo O (n ^c ) per SAT.

allo stesso modo, la risoluzione della decidibilità di questo linguaggio è quasi equivalente al problema P vs NP . tuttavia esiste un caso meno ovvio per il codice "semplice" per il problema in questo caso.

$1 ≤ n ≤ 10^{50}$

$10^{20}$