HORN-SAT è in LIN, in caso affermativo perché non è un'indicazione che P = LIN?

Lo zoo di complessità definisce come la classe di problemi decisionali risolvibili da una macchina di Turing deterministica in tempo lineare.$LIN$

Poiché HORN-SAT è risolvibile in (come indicato negli algoritmi a tempo lineare per testare la soddisfacibilità delle formule di corno proposizionali (1984) )$O(n)$

Vengono presentati nuovi algoritmi per decidere se una formula di Horn (proposizionale) è soddisfacente. Se la formula Horn contiene lettere proposizionali distinte e se si presume che siano esattamente , i due algoritmi presentati in questo documento vengono eseguiti nel tempo , dove è il numero totale di occorrenze di valori letterali in .$A$$K$$P_1,…, P_K$$O(N)$$N$$A$

Mi chiedo perché non possiamo concludere questo

dato che HORN-SAT ha anche dimostrato di essere completo con riduzione dello spazio del registro ? Mi manca qualcosa. O è un fatto ben noto?$P$

(Ho ancora esaminato a fondo il documento del 1984, quindi non capisco bene gli algoritmi per risolvere HORN-SAT in tempo lineare, e quindi potrei aver frainteso le implicazioni.)

Perché le riduzioni dello spazio del registro non si eseguono necessariamente in tempo lineare. Se si riscontra un problema in P e si tenta di ridurlo a HORN-SAT, si verificherà una riduzione dello spazio log, ma tale riduzione potrebbe richiedere più del tempo lineare. Pertanto, anche se HORN-SAT può essere risolto in tempo lineare, l'altro problema potrebbe non essere risolvibile in tempo lineare: è possibile convertirlo in un'istanza HORN-SAT e quindi risolvere l'istanza HORN-SAT, ma il processo di conversione potrebbe richiedere più del tempo lineare.

Una riduzione dello spazio del registro è quella in cui la quantità di spazio utilizzata è , dove è la dimensione di input. In particolare, potrebbe usare bit di spazio, per alcune costanti . Ora è noto che qualsiasi algoritmo deterministico che utilizza al massimo bit di spazio viene eseguito nel tempo al massimo [se è garantito che termini], poiché ci sono solo possibili stati diversi e se l'algoritmo visita qualsiasi stato più di una volta, si ripeterà per sempre. Di conseguenza, una riduzione che utilizza bit di spazio avrà un tempo di esecuzione al massimo . Tuttavia,n c ⋅ lg n c b O ( 2 b ) 2 b c ⋅ lg n O ( 2 c lg n ) 2 c lg n = ( 2 lg n ) c = n c O ( n c$O(\lg n)$$n$$c \cdot \lg n$$c$$b$$O(2^b)$$2^b$$c \cdot \lg n$$O(2^{c \lg n})$$2^{c \lg n} = (2^{\lg n})^c = n^c$ , quindi l'unica conclusione che possiamo trarre è che la riduzione corre nel tempo , cioè nel polinomio tempo.$O(n^c)$

In altre parole: l'esecuzione di una riduzione dello spazio del log può richiedere più del tempo lineare. Il suo tempo di esecuzione può essere qualsiasi polinomio in .$n$

Il teorema della gerarchia temporale deterministica preclude che tutti i problemi di P siano decisi in tempo lineare. Se provi a ridurre un problema a HORN-SAT che richiede più di un tempo lineare per decidere, scoprirai che la riduzione stessa richiede più di un tempo lineare.