Perché il factoring di interi di grandi dimensioni è considerato difficile?

Ho letto da qualche parte che l'algoritmo più efficiente trovato può calcolare i fattori nel tempo , ma il codice che ho scritto è o possibilmente seconda della divisione e del modulo veloci. Sono abbastanza sicuro di aver frainteso qualcosa da qualche parte, ma non sono sicuro di dove. Ecco cosa scritto in forma di pseudo codice.$O(\exp((64/9 \cdot b)^{1/3} \cdot (\log b)^{2/3})$$O(n)$$O(n \log n)$

function factor(number) -> list
    factors = new list
    if number < 0
        factors.append(-1)
        number = -number
    i = 2
    while i <= number
        while number % i == 0
            factors.append(i)
            number /= i
        i++
    return factors

Stai confondendo il numero con il numero di bit necessari per rappresentare . Qui il numero di bit necessari per rappresentare (quindi ). Questo fa un'enorme differenza. Un algoritmo -time è un algoritmo -time - esponenziale nel numero di bit. In confronto, l'algoritmo "efficiente" che hai trovato ha un tempo di esecuzione che è poco costoso in .$n$$n$$b =$$n$$b \approx \lg n$$O(n)$$O(2^b)$$b$

Esempio: considerare (2 milioni). Quindi bit sono sufficienti per rappresentare il numero . Quindi, un algoritmo sarà molto più veloce di un algoritmo . Un algoritmo rientra in quest'ultima categoria, cioè molto lento.$n = 2,000,000$$b=21$$n$$O(2^{b^{1/3}})$$O(2^b)$$O(n)$

Vedi https://en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization

hai circa due domande qui, una generale e una specifica sul tuo codice. quello specifico viene gestito nell'altra risposta. la domanda generale nel titolo sulla complessità del factoring è molto profonda. sfortunatamente non esiste una forte evidenza scientifica che il factoring sia al di fuori di P diverso da (il per lo più circostanziale) "molti esperti hanno tentato e fallito" e alcuni esperti ipotizzano che sia all'interno di P; è considerato uno dei principali (e molto difficili da risolvere) problemi aperti della teoria della complessità. dopo decenni di "attacchi pesanti" i migliori algoritmi sono esponenziali. la complessità del factoring è uno dei "pochi problemi eccezionali" che è noto risiedere "tra" P e NP complete ma non è stato classificato come finora.

come è stato sottolineato, la complessità non è stata un grosso problema fino a quando non è stata utilizzata ("approssimativamente") nei sistemi di crittografia RSA a metà degli anni '80, dove la sicurezza crittografica dipende dal presupposto. (altri due punti dati correlati "non esattamente incoraggianti": l'algoritmo Shors per il factoring quantistico P-time e il test di primalità si è dimostrato in P nei primi anni 2000 nel famoso / celebre algoritmo AKS .) un possibile risultato positivo sarebbe che è nel tempo quasipolinomiale , che è più debole del NP completo (supponendo che P ≠ NP e NP completi abbiano un tempo esponenziale inferiore rispetto ) ma tecnicamente "duro".

finora non ho trovato un ottimo sondaggio su questo argomento chiave. comunque vedi anche

• Il factoring può essere più semplice di quanto pensi / Cohn

• Factoring intero in P / mathoverflow (menzionando i pensieri di Sarnak in P, e anche la risposta di Cohn)

• "Mondi di Impagliazzos, una visione personale della complessità media dei casi / Impagliazzo. Parla di ipotesi / congetture teoriche sulla complessità in generale connesse alla crittografia (ad esempio factoring). Molte / la maggior parte di quelle chiave (ad esempio P vs NP ecc.) Sono ancora aperte dopo decenni.