Esiste un algoritmo efficiente per il test di primalità per i numeri che sono nella forma usando la funzione radice quadrata?

Stavo leggendo CLRS e mi chiedeva di mostrare che se è un numero primo della forma e era un residuo quadratico, allora è una radice quadrata (si può anche facilmente dimostrare che è una radice quadrata).$p$$4k+3$$a$$a^{k+1}$$a^{-k}$

Mi chiedevo se usando il fatto precedente e anche che sapevamo di avere un numero della forma (non necessariamente primo), allora forse c'è un diverso test di primalità per (qualsiasi?) usando la funzione radice quadrata (ovvero ).$N = 4k+3$$N$$SQRT_N(a) = a^{k+1}$

Quindi l'algoritmo che pensavo fosse il seguente:

Scegli un residuo quadratico (QR) (puoi farlo facilmente controllando se a ^ {\ frac {p-1} {2}} \ equiv 1 \ pmod p ). Una volta che abbiamo un QR, calcola a ^ {k + 1} = x_a e controlla se x_a ^ 2 è uguale a a . Se è vero, allora concludiamo che a è primo. Altrimenti, scegliamo un QR diverso a '\ in \ mathbb {Z} ^ * _ N e ripetiamo l'algoritmo. Si può ripetere questo algoritmo k volte. Se dopo k volte non c'è successo, concludi che il numero è composto.$a \in \mathbb{Z}^*_N$$a^{\frac{p-1}{2}} \equiv 1 \pmod p$$a^{k+1} = x_a$$x_a^2$$a$$a$$a' \in \mathbb{Z}^*_N$$k$$k$

Ho principalmente intuizioni sul perché sia ​​una prova corretta ma non formale. Dal primo fatto che $x_a = a^{k+1}$ è una radice quadrata quando $p$ è primo, deve significare che $x_a^2 \equiv a \pmod p$ . Pertanto, se $a$ è un QR, quel controllo passerà (metà del tempo sceglieremo un QR, quindi probabilmente il fatto che scegliamo un non QR è solo 1/2).

Tuttavia, se $N$ è composito, sembra che abbiamo alcuna garanzia che $x_a^2 \equiv a \pmod N$ . Quindi se non regge siamo sicuri che non sia un numero primo. Ma se regge allora se il suo primo è giusto, ma se il suo composito potremmo essere sbagliato? Fondamentalmente, è possibile usare la funzione SQRT quando $N = 4k+3$ per decidere se $N$ è primo o no?

Ho anche pensato a un altro algoritmo che meritava una sua domanda: il calcolo di una radice quadrata di un numero e avere più di 2 radici è un modo affidabile per decidere la primalità?

Vorrei iniziare con un controesempio in cui il tuo algoritmo fornisce la risposta sbagliata: vale a dire, dove è composto ma il tuo algoritmo conclude che è primo. Supponiamo che e . Quindi , quindi passa il controllo per essere un QR. Inoltre, e , quindi questo supera il tuo secondo test, il tuo algoritmo concludere che 91 è primo. Tuttavia, 91 non è un numero primo: . Quindi il tuo algoritmo ha tratto una conclusione sbagliata in questo caso. Ciò dimostra che l'algoritmo può generare risposte errate in almeno alcuni casi.$N$$N=91$$a=9$$a^{(N-1)/2} = 9^{45} \equiv 1 \pmod{91}$$a$$a^{(N+1)/4} = 9^{23} \equiv 81 \pmod{91}$$81^2 \equiv 9 \pmod{91}$$91=7 \times 13$

In realtà, c'è un problema più serio con il tuo algoritmo. Non esiste un numero cui l'algoritmo produrrà mai "composito". Pensa che tutti i numeri siano numeri primi. Più precisamente, per ogni , il tuo algoritmo o eseguirà il loop per sempre (cercando di trovare un numero che supera il test QR, invano), oppure terminerà e genererà "prime". Quindi, il tuo algoritmo è nel modo più sbagliato possibile.$N$$N$

Puoi vederlo applicando una teoria dei numeri. Hai un test se è un QR e un secondo test basato sull'intuizione della radice quadrata. Se supera il primo test, passerà il secondo.$a$$a$

Ecco perché. Il test ha esito positivo se QR . Il tuo secondo test ha esito positivo se . Quest'ultimo è equivalente ad . Ma . Pertanto, se , quindi (moltiplicando entrambi i lati per ) vediamo immediatamente che dobbiamo avere .$a^{(N-1)/2} \equiv 1 \pmod N$$(a^{(N+1)/4})^2 \equiv a \pmod N$$a^{(N+1)/2} \equiv a \pmod N$$a^{(N+1)/2} \equiv a \times a^{(N-1)/2} \pmod N$$a^{(N-1)/2} \equiv 1 \pmod N$$a$$a^{(N+1)/2} \equiv a \pmod N$

Ciascuno dei passaggi del tuo algoritmo equivale sostanzialmente alla ricerca di un che supera il primo test, quindi a verificare se supera il secondo test - ma in base alle intuizioni precedenti, vediamo che qualsiasi che supera il primo test sarà assicurarsi di superare anche il secondo test. Pertanto, se l'algoritmo trova mai un valore che supera il test QR, il secondo test passerà automaticamente e l'algoritmo produrrà "prime".$k$$a$$a$$a$

La lezione da imparare: ogni volta che pensi di avere un algoritmo che sembra promettente, vale la pena codificarlo e provarlo su alcuni casi di test e vedere se sembra funzionare bene. Provarlo su alcuni casi di test non è un sostituto per una prova di correttezza , ma può essere un modo utile per eliminare rapidamente un algoritmo errato.

Infine, alla tua vera domanda: possiamo usare qualcosa del genere per costruire un test di primalità? Bene, puoi pensare al test di primalità di Miller-Rabin come vagamente basato su qualcosa del genere. Si basano su una caratterizzazione di come dovrebbero apparire le radici quadrate di , se è primo. Se incontri una radice quadrata di che non è o , puoi concludere che non è primo. Tuttavia, non è limitato ai numeri della forma , quindi in questo senso è decisamente diverso.$1$$N$$1$$1$$-1$$N$$N$$N=4k+3$

La congruenza è vera per tutti i numeri primi della forma corretta, ma è anche vera per alcuni numeri composti, il che rende la congruenza da sola inutile come test di primalità.$p$

Esempio: imposta sul numero , che è ovviamente composito ed è della forma con . è , quindi mod produce il residuo quadratico = . = = ; applicando mod a ciò si ottiene . Ora il test: in mod dovrebbe essere la radice quadrata di ( ) solo se è primo, ma$p$$15$$4k + 3$$k = 3$$10000$$100^2$$10000$$15$$a$$10$$10^{k+1}$$10^{4}$$10000$$p$$10$$p$ $10$$a$$10$$p$$10^2$ = che è mod , quindi ha superato il test primailty. Tuttavia sappiamo che è composito.$100$$10$$p$$p$$p$

Ciò sta dimostrando che anche se il tuo metodo per selezionare i QR è perfetto, l'algoritmo può ancora sbagliare. Ad esempio, qui sarebbe un modo ragionevole di scegliere : scegli un numero casuale , quadralo e chiama risultato (cioè ). Quindi sai che è garantito per essere un QR e non è necessario testarlo utilizzando il test che hai elencato. Se è così che l'algoritmo ha scelto , l'esempio sopra mostra che l'algoritmo può dare la risposta sbagliata in alcuni casi (ad esempio, , ).$a$$r$$a$$a =r^2 \bmod N$$a$$a$$p=15$$r=5$