Definizione PTAS vs. FPTAS

Da quello che ho letto nel preliminary version of a chapter of the book “Lectures on Scheduling” edited by R.H. M¨ohring, C.N. Potts, A.S. Schulz, G.J. Woeginger, L.A. Wolsey, to appear around 2011 A.D.

Questa è la definizione PTAS :

Uno schema di approssimazione temporale polinomiale ( PTAS ) per il problema è uno schema di approssimazione la cui complessità temporale è polinomiale nella dimensione di input.$X$

e definizione FPTAS

Uno schema di approssimazione del tempo completamente polinomiale ( FPTAS ) per il problema è uno schema di approssimazione la cui complessità temporale è polinomiale nella dimensione di input e anche polinomiale in 1 / .$X$$\epsilon$

Quindi lo scrittore dice:

Quindi, per un PTAS sarebbe accettabile avere una complessità temporale proporzionale a doveè la dimensione di input, sebbene questa complessità temporale sia esponenziale in . Un FPTAS non può avere una complessità temporale che cresce esponenzialmente in ma una complessità temporale proporzionale a andrebbe bene. Per quanto riguarda l'approssimazione del caso peggiore, un FPTAS è il risultato più forte possibile che possiamo derivare per un problema NP-difficile. | Io | 1 / ϵ 1 / ϵ | Io | 8 / ϵ $|I|^{1/\epsilon}$$|I|$$1/\epsilon$$1/\epsilon$$|I|^8/\epsilon^3$

Quindi ha suggerito la figura seguente per illustrare le relazioni tra le classi di problemi:

Ecco le mie domande:

1. Dalla definizione PTAS e FPTAS , in che modo lo scrittore conclude che l' FPTAS non può avere una complessità temporale che cresce esponenzialmente in ? e che differenza fa se può avere una tale complessità temporale?$1/\epsilon$

2. Una complessità temporale come è accettabile per FPTAS ma non per PTAS , quindi perché FPTAS è considerato un sottoinsieme di PTAS ?$(n+1/\epsilon)^3$

3. Cosa significa: un FPTAS è il risultato più forte possibile che possiamo derivare per un problema NP-difficile.

4. Nel complesso, vorrei sapere cosa significano esattamente questi concetti e quali sono le loro proprietà distinte.

Grazie in anticipo.

Lasciami rispondere alle tue domande in ordine:

1. Per definizione, un problema ha un FPTAS se esiste un algoritmo che su istanze di lunghezza $n$ fornisce una approssimazione $1+\epsilon$ e viene eseguito nel tempo polinomiale in $n$ e $1/\epsilon$ , ovvero $O((n/\epsilon)^C)$ per una costante $C \geq 0$ . Un tempo di esecuzione di $2^{1/\epsilon}$ non appartiene a $O((n/\epsilon)^C)$ per ogni $C$ .
   Un algoritmo il cui tempo di esecuzione è $O((n/\epsilon)^C)$ è migliore di un algoritmo il cui tempo di esecuzione è garantito solo come $O(n^C e^{D/\epsilon})$ , poiché la dipendenza da $\epsilon$ è migliore per il primo algoritmo. Inoltre, per qualsiasi $E$ , possiamo trovare un'approssimazione E$1+1/n^E$ in tempo polinomiale usando il primo algoritmo ma non usando il secondo (almeno non con la garanzia data).

2. $1+\epsilon$$(n+1/\epsilon)^3$$\epsilon$$O(n^3)$$n$

3. $\epsilon$$\epsilon$$\epsilon$$n$$\log(1/\epsilon)$$n$$\log(1/\epsilon)$

4. $C>1$$1+\epsilon$$e^{1/\epsilon}$$\epsilon$$\epsilon$$1+1/n^C$$C$

$|I|=n$$\epsilon$$n^{1/\epsilon}$$n$$\epsilon$$\epsilon$$1/\epsilon$$n$$\mathrm{poly}(n,1/\epsilon)$$n^4 (1/\epsilon)^3 + (1/\epsilon)^8$$n^{1/\epsilon}$$n$$1/\epsilon$