Prova n! è completamente costruibile nel tempo

Abbiamo appena finito la lezione di "Costruibilità del tempo" in classe la scorsa settimana e, per esempio, lo abbiamo dimostrato $n^k, 2^n$ sono completamente costruibili nel tempo, cioè esiste una macchina di Turing (deterministica multi-nastro) che per $n$ dato, si ferma esattamente dopo $f(n)$ passi e ho appena chiesto se ora potessimo provarlo $n!$ è completamente costruibile nel tempo (e spostato).

Non sono sicuro di come vada la prova, ma penso che debba essere utilizzata $n^k$ costruibilità temporale in una certa misura, o qualche identità che coinvolge fattoriali, da quando abbiamo mostrato $n^k$ è (completamente) utilizzabile nel tempo $n^k = n + \sum_{i=1}^{i=k-1}(n - 1)n^i$.

Anche i suggerimenti sarebbero apprezzati, davvero. Grazie in anticipo.

Supponiamo di aver trovato $n!$ su input $n$. La nostra complessità è in termini di lunghezza dell'input (supponiamo che sia$L=O(logn)$). Moltiplicazione di a$k$ un po ' $l$ accetta il numero di bit tramite la moltiplicazione standard $O(kl)$ operazioni (anche dopo il numero moltiplicato di bit nel risultante if $O(k+l)$). Ci moltiplichiamo linearmente in un ciclo da$1$ per $n$ ottenere $n!$. Quindi il numero di operazioni eseguite è limitato da$\# = L^2 ( 1 + 2 ...(n-1) ) = \frac{L^2n(n-1)}{2} = O(L^22^{O(L)})=o(L!)$. Quindi è spazio e tempo costruibili.