Dimostrare che DOUBLE-SAT è NP-completo

Il noto problema SAT è definito qui per amor di riferimento.

Il problema DOUBLE-SAT è definito come

$\qquad \mathsf{DOUBLE\text{-}SAT} = \{\langle\phi\rangle \mid \phi \text{ has at least two satisfying assignments}\}$

Come possiamo dimostrarlo NP-completo?

Sarà apprezzato più di un modo per dimostrarlo.

Ecco una soluzione:

Chiaramente Double-SAT appartiene a , poiché un NTM può decidere Double-SAT come segue: su una formula di input booleana ϕ ( x 1 , … , x n ) , indeterminatamente indovinare 2 assegnazioni e verificare se entrambe soddisfano ϕ .${\sf NP}$$\phi(x_1,\ldots,x_n)$$\phi$

Per mostrare che Double-SAT è Complete, diamo una riduzione da SAT a Double-SAT, come segue:${\sf NP}$

All'ingresso :$\phi(x_1,\ldots,x_n)$

1. Introdurre una nuova variabile .$y$
2. Formula di output .$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y) = \phi(x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$

Se appartiene a SAT, allora ϕ ha almeno 1 incarico soddisfacente, e quindi ϕ ′ ( x 1 , … , x n , y ) ha almeno 2 incarichi soddisfacenti in quanto possiamo soddisfare il nuova clausola ( y ∨ ˉ y ) assegnando y = 1 o y = 0 alla nuova variabile y , quindi ϕ ′ ( $\phi (x_1,\ldots,x_n)$$\phi$$\phi'(x_1,\ldots,x_n, y)$$y \vee \bar y$$y = 1$$y = 0$$y$$\phi'$ , ..., x n , y ) ∈ Double-SAT.$x_1$$x_n$$y$$\in$

D'altra parte, se , allora chiaramente ϕ ′ ( x 1 , … , x n , y ) = ϕ ( x 1 , … , x n ) ∧ ( y ∨ ˉ y ) non ha neppure un compito soddisfacente, quindi ϕ ′ ( x 1 , … , $\phi(x_1,\ldots,x_n)\notin \text{SAT}$$\phi' (x_1,\ldots,x_n, y) = \phi (x_1,\ldots,x_n) \wedge (y \vee \bar y)$ .$\phi'(x_1,\ldots,x_n,y) \notin \text{Double-SAT}$

Pertanto, , e quindi Double-SAT è N P- Complete.$\text{SAT} \leq_p \text{Double-SAT}$${\sf NP}$

$\mathsf{SAT}$$\mathsf{SAT}$$\mathsf{DOUBLE\text{-}SAT}$

$\varphi$$\varphi \lor f(\varphi)$$\varphi$$f$