Il trucco usato nella dimostrazione della doppia complessità esponenziale dell'aritmetica di Presburger

L'ho pubblicato su MathUnderflow ma non ho ricevuto risposte, quindi ho pensato di provarlo qui,

Sto leggendo il vecchio documento di Rabin e Fischer [pubblicherò un link quando possibile] dove, tra le altre cose, è dimostrata la doppia complessità esponenziale dell'aritmetica di Presburger.

La dimostrazione si basa sull'esistenza di una formula afferma informalmente " " con . Sebbene la costruzione di questa formula non sia data nel documento, è stata una sorpresa per me considerando che è presumibilmente altamente non banale, dato quel limite e il fatto che abbiamo solo un'aggiunta a nostra disposizione! ¹$I_{n}(x)$$x < 2^{2^{kx+1}}$$|I_{n}| \in O(n)$

In seguito ho appreso che la costruzione di questa formula si basa su un "trucco", precedentemente scoperto da Fischer, e indipendentemente da Volker Strassen, ma non sono riuscito a rintracciare un documento che descrive questo trucco in dettaglio!

Quindi, se qualcuno conosce il documento di cui sto parlando e può indicarmi la sua direzione o persino descrivermi il trucco ...

Questo post dal blog di Lipton contiene un link al documento e menziona [e fornisce un abbozzo, purtroppo insufficiente per me, schizzo di] detto trucco, BTW.

¹ So che questa è una descrizione vaga. Tuttavia, una descrizione sufficientemente dettagliata sarebbe troppo lunga per un post SX, quindi spero solo che qualcuno che già conosce il documento in questione - e quindi può accontentarsi di quel breve schizzo - si imbatte in questo ed è in grado di aiutarmi .

Il commento di Martin (e il seguito di Yuval) fornisce il riferimento che spiega la costruzione in dettaglio.

Elaborerò un po 'perché penso che sia una prova meravigliosa: fondamentalmente sta eseguendo la "solita" prova di indecidibilità di PA (aritmetica con addizione e moltiplicazione), ma relativizzata a $2^{2^{c\cdot n}}$ ! Cioè, esiste una formula (breve) che esprime la moltiplicazione fino a quel numero, cioè una formula tale che M n ( x , y , z ) ⇔ x × y = z ∧ x < 2 2 $M_n(x,y,z)$

$$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$$

Ora costruisci per induzione su n , con un trucco cruciale che ricorda l' algoritmo Karatsuba per moltiplicare i numeri binari o alcuni trucchi per la moltiplicazione di matrici:$M_n$$n$

Nella definizione di si finisce con una congiunzione della forma M n ( x 1 , y 1 , z 1 ) ∧ M n ( x 2 , y 2 , z 2 ) ∧ M n ( x 3 , y 3 , z 3$M_{n+1}(x,y,z)$

$$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$$

Ma puoi sostituirlo con

$$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$$

Questo trucco consente un aumento lineare delle dimensioni anziché esponenziale (in funzione di ).$n$

Ci sono un paio di altri trucchi coinvolti, ma questo è il principale. Gli interni della ricorsione sono importanti, ovviamente, ma la somiglianza con il trucco di Karatsuba è davvero sorprendente.