Imballare una busta di regali è più facile per Rupert che per Babbo Natale?

^{Oppure: abbiamo bisogno di Rupert per ottenere dei regali?}

A parte i problemi di routing , Babbo Natale affronta il seguente problema (molte, molte volte):

Dato un sacchetto con capacità¹ e un set di regali , ciascuno con dimensione , vuole rendere felici i bambini . Sa da tutte le liste dei desideri che i valori figlio presentano esattamente . $C$ $\{p_1, \dots, p_n\}$ $s_i$ $\{c_1, \dots, c_k\}$ $c_j$ $p_i$ $v_{i,j} \in \mathbb{Q}_{\geq 0}$

Quale serie di regali (disgiunti a coppie) scegliere per ogni bambino in modo che tutto si adatti, cioè $I_j \subseteq [1..n]$

$\qquad\displaystyle \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} s_i \leq C$ ,

e ne deriva quanta più felicità possibile², vale a dire

$\qquad\displaystyle \max! \sum_{j \in [1..k]} \sum_{i \in I_j} v_{i,j}$ ?

Chiaramente questo non è più semplice di Bin Packing o Zaino, quindi Babbo Natale povero potrebbe dover trascorrere molto tempo a fare i bagagli³.

Ora, come sappiamo, il suo assistente Rupert non dà incondizionatamente. Ha conoscenza di $V_j$ , il valore massimo che il bambino $c_j$ può ricevere in base al comportamento durante l'anno; cioè aggiunge un ulteriore vincolo

$\qquad\displaystyle \forall j \in [1..k].\ \sum_{i \in I_j} v_{i,j} \leq V_j$ .

Ciò semplifica il problema dell'imballaggio dei sacchetti? Se non sempre, a quali condizioni?

Se il c diametro himney è il fattore limitante, una struttura analoga sia stabilita.
Non preoccupiamoci di equità e altre idee ridicole.
Quindi, solo un Natale all'anno. QED

— Raffaello
fonte

Chiunque voglia regalare agli altri utenti, aggiungi una taglia una volta che è possibile! Saranno ammissibili le risposte corrette e comprensibili che evocano anche lo spirito delle vacanze!

— Raffaello

Le mie più vecchie domande di Natale sull'instradamento di Babbo Natale e sulla piastrellatura dei biscotti sono entrambe almeno parzialmente aperte!

— Raffaello

Bah! ... Humbug!

— Rick Decker,

Un paio di commenti banali: il problema non può essere sempre più semplice (basta selezionare ) ma c'è almeno un caso in cui si trova (imposta tutto tranne , che è impostato su ).

V_{j} \geq \sum_{i \in I_{j}} v_{i, j}

$V_j \ge \sum_{i\in I_j} v_{i,j}$

V_{j} = 0

$V_j=0$

V_{1}

$V_1$

min_{i} v_{i, 1}

$\min_i v_{i,1}$

— Manlio,

Dopo aver esaminato rapidamente questa domanda, credo che la conoscenza aggiuntiva di Rupert sul {comportamento, valore massimo presente di ogni bambino] non faciliterà sempre il lavoro di Babbo Natale. Babbo Natale dovrà comunque eseguire uno zaino 0/1 per riempire i sacchetti e un algoritmo ungherese per massimizzare la felicità che ogni bambino capitalista riceve la mattina di Natale. Un semplice caso in cui renderebbe il lavoro di Babbo Natale piuttosto semplice è se ogni bambino che Santa stava considerando non pubblicava un articolo e invece giocava ai videogiochi tutto l'anno riceveva uno zero da Rupert (ogni bambino avrebbe avuto carbone).

— Logan Leland
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