Potrebbe essere un problema NP-completo?

Considera la seguente dichiarazione del problema:

Dato un numero iniziale, tu e il tuo amico vi alternate per sottrarre un quadrato perfetto da esso. Vince il primo a raggiungere lo zero. Per esempio:

Stato iniziale: 37

Il giocatore 1 sottrae 16. Stato: 21

Player2 sottrae 8. Stato: 13

Il giocatore 1 sottrae 4. Stato: 9

Il giocatore 2 sottrae 9. Stato: 0

Player2 vince!

Scrivi un programma che, dato uno stato iniziale, restituisca una mossa ottimale, ovvero una mossa che garantisca la vittoria del gioco. Se nessuna mossa possibile può portarti a uno stato vincente, ritorna -1.

Questo problema può essere risolto in tempi pseudo-polinomiali usando la programmazione dinamica. L'idea è semplicemente riempire un array di lunghezza n (dove n è lo stato iniziale) dal basso verso l'alto con le mosse ottimali, o -1 se nessuna mossa porta alla vittoria. Questo richiederebbe O (n * sqrt (n)) poiché per ogni numero dobbiamo considerare di sottrarre ogni possibile quadrato perfetto più piccolo di esso (ce ne sono ~ sqrt (n)). Tuttavia, si tratta di una complessità di runtime pseudo-polinomiale poiché il runtime si ridimensiona in modo esponenziale in relazione alla dimensione dell'input in binario (numero di bit utilizzati per rappresentare il numero).

Qualcuno può pensare a un algoritmo polinomiale per risolvere questo problema? In caso contrario, potrebbe essere NP-Complete? Perché?

— Martin Copes
fonte

Per curiosità, perché stai chiedendo in particolare se è NP-completo? (Personalmente, avrei indovinato che non è nemmeno a NP, anche se davvero non lo so.)

— ruakh

@ruakh Di recente ho riscontrato questo problema durante un'intervista di programmazione e ho proposto la soluzione pseudo-polinomiale usando la programmazione dinamica che ho descritto. Tuttavia, dopo aver attentamente pensato al problema non sono riuscito a trovare un algoritmo temporale polinomiale. Presto ho iniziato a chiedermi se questo non fosse in realtà un problema NP (-Complete).

— Martin affronta il

Hai provato a calcolare quali posizioni stanno conquistando posizioni e quali stanno perdendo posizioni? Forse sorgerà uno schema.

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus Secondo Wikipedia non esiste una formula nota per questo schema (sequenza A030193 nell'OEIS)

— Martin Copes,

Bene, stavo solo per pubblicare una risposta con queste informazioni. Vedi anche A224839.

— Yuval Filmus,

La sequenza di posizioni in perdita si trova nell'OEIS, A030193 , così come la sequenza di posizioni con valore Grundy 1, A224839 . L'enciclopedia cita numerosi articoli pertinenti. Forse alcuni di loro discutono algoritmi non banali per calcolare la sequenza.

— Yuval Filmus
fonte

Come hai detto, questa sequenza rappresenta le posizioni perdenti. Anche se sei stato in grado di verificare in tempo costante se una posizione perde o meno (il che sembra difficile!) Il problema ti chiede comunque di restituire la mossa ottimale, ovvero quale quadrato dovresti sottrarre allo stato corrente per arrivare a una posizione perdente. Il problema si ridurrebbe alla ricerca di una posizione perdente sottraendo i quadrati dallo stato attuale. Quindi è ancora necessario scorrere tutti i quadrati più piccoli dello stato, anche se è possibile verificare se una posizione sta perdendo in tempo costante.

— Martin affronta il

Giusto, non sarà abbastanza, ma sarà un buon inizio. Forse otterrai alcune informazioni sulla possibilità di calcolare solo lo stato vincente di una posizione. Inoltre, dimostrare che è difficile decidere quale posizione sta perdendo sarà sufficiente per dimostrare che il problema, come affermato, è NP-difficile, in qualsiasi versione di decisione ragionevole.

— Yuval Filmus,