Dimostrare o confutare: BPP (0.90,0,95) = BPP

Mi piacerebbe molto il tuo aiuto per provare o smentire il seguente reclamo: $BPP(0.90,0.95)=BPP$ . Nella teoria della complessità computazionale, BPP, che sta per tempo polinomiale probabilistico ad errore limitato è la classe di problemi di decisione risolvibili da una macchina di Turing probabilistica in tempo polinomiale, con una probabilità di errore al massimo $\frac{1}{3}$ per tutti i casi. $BPP=BPP(\frac{1}{3},\frac{2}{3})$ .

Non è immediato che uno qualsiasi degli insiemi sia un sottoinsieme dell'altro, poiché se la probabilità di un errore è minore di $0.9$ non deve essere più piccolo di $\frac{1}{3}$ e se è più grande di $\frac{2}{3}$ non deve essere più grande di $0.905$ .

Sto cercando di usare la disuguaglianza di Chernoff per dimostrare l'affermazione, non sono sicuro di come. Mi piacerebbe davvero il tuo aiuto. Esiste un reclamo generale riguardo a queste relazioni che posso usare?

complexity-theory time-complexity probabilistic-algorithms

— Numeratore
fonte

Non sono sicuro del significato della notazione BPP (x, y). È accettata una stringa non nella lingua con probabilità non maggiore di x e una stringa nella lingua con probabilità maggiore di y?

— Matt Lewis

Esatto, hai ragione.

— Numeratore

Suggerimento: se corri

n

$n$ prove su una stringa che non è nella tua lingua, qual è la probabilità che più di es

.9 n + c \sqrt{n}

$.9\ n+c\sqrt{n}$ di loro accetta la stringa? Se corri

n

$n$ prove su una stringa che è nella lingua, qual è la probabilità che meno di

.95 n - c \sqrt{n}

$.95\ n-c\sqrt{n}$ di loro rifiuta la stringa? Cosa succede alle tue probabilità di accettazione / rifiuto se corri

n

$n$ prove e dire 'accetta qualsiasi stringa accettata da più di

.925 n

$.925\ n$ corre ", come

n \to \infty

$n\to\infty$ ?

— Steven Stadnicki,

Il suggerimento di Steven Stadnicki è di dimostrarlo

B P P (0.9, 0.95) \subseteq B P P (1 / 3, 2 / 3)

$BPP(0.9,0.95) \subseteq BPP(1/3,2/3)$ . Per l'altra direzione, mostralo

B P P (1 / 3, 2 / 3) \subseteq B P P (ϵ, 1 - ϵ)

$BPP(1/3,2/3) \subseteq BPP(\epsilon,1-\epsilon)$ per ogni

ϵ

$\epsilon$ . Allo stesso modo puoi dimostrarlo

B P P = B P P (α, β)

$BPP = BPP(\alpha,\beta)$ per eventuali costanti

0 < α < β < 1

$0<\alpha<\beta<1$ .

— Yuval Filmus

Espandere il mio commento in una risposta: la forma moltiplicativa del limite di Chernoff dice che se l'aspettativa $X=\sum_{i=0}^n X_i$ per la somma di variabili binarie casuali indipendenti è $\mu$ , quindi la probabilità di allontanarsi "troppo lontano" da tale aspettativa va come: $Pr(X\gt (1+\delta)\mu) \lt \left(\dfrac{e^\delta}{(1+\delta)^{(1+\delta)}}\right)^\mu$ .

Ora, immagina una procedura in cui, data una stringa $\sigma$ per testare, corriamo $n$ prove della nostra $BPP(0.90, 0.95)$ algoritmo (per alcuni $n$ da scegliere in seguito) e accettare almeno iff $0.925n$ di questi processi accettano $\sigma$ . Possiamo usare il limite di Chernoff per trovare la probabilità di fallimento in termini di $n$ come segue:

Permettere $X_i$ denota il risultato di $i$ il processo, e quindi $X=\sum X_i$ il numero di prove riuscite. Possiamo presumere in modo conservativo che la nostra probabilità di falsi positivi sia $.9$ ; questo significa che se lo facciamo $n$ prove indipendenti su una stringa $\sigma\notin L$ , il numero previsto di successi è $\mu = E(X) = 0.9n$ . (Si noti che una probabilità falsa positiva inferiore a $.9$ porterà a un valore atteso ancora più basso e quindi a limiti ancora più stretti sulle stime a venire.) Ora, diamo un'occhiata alla probabilità che abbiamo più di $0.925n$ falsi positivi (cioè quello $X\gt 0.925n$ ). Prendiamo $\delta = \left(\frac{0.925}{0.9}\right)-1 =\frac{1}{36}$ ; poi $\left(\dfrac{e^\delta}{(1+\delta)^{(1+\delta)}}\right) \approx.99961\lt \frac{2999}{3000}$ e così abbiamo $Pr(X\gt 0.925n)\lt\left(\frac{2999}{3000}\right)^{0.9n}$ .

Da qui dovrebbe essere chiaro che prendendo $n$ abbastanza grande possiamo ridurre questa probabilità a $\lt\frac{1}{3}$ . Pertanto, per questo sufficientemente grande $n$ , se accettiamo la stringa $\sigma$ solo se il numero di prove riuscite su $\sigma$ è più grande di $.925n$ , quindi la nostra probabilità di accettare una stringa $\sigma\notin L$ scende al di sotto $\frac{1}{3}$ . Si noti che questo $n$ è costante , non dipende dalla dimensione del nostro problema; dal momento che stiamo eseguendo il nostro polinomio $BPP(0.9, 0.95)$ algoritmo un numero costante di volte, il tempo di esecuzione totale della nostra nuova procedura è ancora polinomiale. Un'analisi simile che va nella direzione opposta mostrerà che la probabilità di un "falso negativo" (quello $X\lt.925n$ per una stringa che è nella nostra lingua) sarà delimitato da $c^n$ per alcuni $c$ , e così ancora possiamo prendere $n$ abbastanza grande da limitare la probabilità di un falso negativo di $\frac{1}{3}$ (o, in altre parole, per garantire almeno $\frac{2}{3}$ probabilità di accettare su una stringa $\sigma\in L$ ). Questo dimostra che $BPP(.9, .95)\subseteq BPP(\frac13, \frac23) \equiv BPP$ e il commento di Yuval mostra come dimostrare l'equivalenza inversa attraverso una procedura simile.

Canonicamente, questo è noto come amplificazione di probabilità ed è un metodo immensamente utile per gestire le classi probabilistiche. Le costanti specifiche sono meno importanti, ovviamente, quindi il fatto che il limite di Chernoff ci consenta di vincolare le nostre probabilità di "falso risultato" con una funzione esponenziale del numero di prove, quindi possono essere arbitrariamente ridotte con solo un numero modesto di prove.

— Steven Stadnicki
fonte

In realtà non hai bisogno di Chernoff legato qui, è sufficiente Chebyshev.

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus Oh, certamente; da quando OP ha menzionato nello specifico Chernoff, ho pensato che avrei seguito quella strada e, a parte la forma scomoda della costante, in realtà l'IMHO è un po 'più semplice poiché non è necessario scavare i risultati (per quanto diretti possano essere) sulla varianza di una distribuzione binomiale.

— Steven Stadnicki,