Isomorfismo grafico e gruppo di automorfismi

Un approccio comune per decidere se due determinati grafici sono isomorfi è quello di calcolare la cosiddetta etichetta canonica (in alternativa, grafico canonico) di ciascun grafico e di verificare se quelli corrispondono o meno.

Strumenti come Nauty calcolano il grafico canonico tramite alberi di ricerca che vengono potati usando alcune idee intelligenti che si basano, tra l'altro, sugli automorfismi del grafico. Per questo motivo, Nauty consente di calcolare un generatore del gruppo automorfismo grafico. Tuttavia, per quanto ho capito l'idea alla base di Nauty, il calcolo del grafico canonico non richiede uno per calcolare un generatore del gruppo di automorfismo grafico in generale.

La mia domanda è quindi: esiste una relazione formale complessità-teorica tra IG e il calcolo di un gruppo elettrogeno del gruppo automorfismo grafico?

Grazie molto.

complexity-theory graph-isomorphism

— user88338
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Possiamo determinare se e sono isomorfi attraverso il gruppo degli automorfismi di . Andando dall'altra parte, non sono sicuro --- forse c'è un modo semplice per etichettare canonicamente un grafico dato il suo gruppo di automorfismi.

G

$G$

H

$H$

G \cup H

$G \cup H$

— Rebecca J. Stones,

@ RebeccaJ.Stones, è la stessa domanda, però? A meno che Wikipedia non sia obsoleta, non è noto se l'isomorfismo dei grafi e la canonicalizzazione dei grafi siano equivalenti al tempo polinomiale, quindi non penso che un algoritmo per etichettare canonicamente un grafico dal gruppo automorfismo ti direbbe qualcosa di utile sulla relazione tra informatica il gruppo e il GI.

— Peter Taylor,

Come suggeriscono i commenti, può esserci confusione su ciò che chiamate "GI". Ma l'idea qui è corretta. È tempo polinomiale trovare generatori di un gruppo di automorfismi in quanto è trovare un isomorfismo tra due gruppi. L'idea è "classica" in quanto appare nei primi lavori come l'isomorfismo del gruppo di Luks in valenza limitata è in tempo polinomiale, e anche lì penso che l'idea sia stata considerata "ben nota".

Richiesta. Lasciate e siano collegati grafici. Poi se, e solo se, ogni generatrice insieme di contiene un elemento tale che . $G$ $H$ $G\cong H$ $S$ $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $g\in S$ $G^g=H$

Nota Importante qui è che ogni gruppo elettrogeno scambia i grafici come altrimenti a volte si calcolano generatori che non risolvono il problema. Ad esempio, l'isomorfismo di due gruppi non si arrende così facilmente in questo modo. Questo perché non tutti i gruppi elettrogeni di saranno intercambiare e quando . invece possono andare alle copie diagonali. Tale situazione può essere risolta, ma richiede un argomento più forte. Quindi l'approccio qui non è applicabile in tutte le categorie. $\mathrm{Aut}(G\times H)$ $G$ $H$ $G\cong H$

Prova. Per il viceversa se ogni set (o anche se uno) generatrice di scambia e quindi dalla restrizione di tale funzione . Quindi si tratta della direzione in avanti. (Ma lo menziono perché la dimostrazione è contropositiva, quindi può sembrare che stia per andare nella stessa direzione.) $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $G$ $H$ $G\cong H$ $G$

Supponiamo che sia generato da un insieme tutti i cui elementi inviano a e a , (nota per ipotesi di connettività se un vertice di viene inviato a un vertice di quindi l'intero grafico viene inviato a e quindi per foro di piccione alcuni vertici in verranno inviati a e quindi e avremo scambiato i due grafici). Poiché invia a , quindi ogni composizione di funzioni in $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $S$ $G$ $G$ $H$ $H$ $G$ $H$ $G$ $H$ $H$ $G$ $|G|=|H|$ $S$ $G$ $G$ $S$ invia a , così come l'inversione di queste funzioni. Quindi ogni parola in invia a (e anche a ). Quindi, nessun elemento di interscambi e . $G$ $G$ $S$ $G$ $G$ $H$ $H$ $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $G$ $H$

Infine, se quindi un isomorfismo offre un automorfismo di . Quindi l'assenza di elementi in di intercambiare e implica . Il risultato segue. $G\cong H$ $\phi:G\to H$ $\phi\sqcup \phi^{-1}$ $G\sqcup H$ $\mathrm{Aut}(G\sqcup H)$ $G$ $H$ $G\not\cong H$ $\Box$

Ma ora il punto da chiarire è che la decisione (è ?) Di cercare (Give me o un certificato che ) deve ancora essere discussa ( e può essere). Anche da un isomorfismo a generatori di automorfismi è un altro argomento (individualizzare i grafici e ripetere il test di isomorfismo). Quindi tutti ti hanno detto che hai un paio di pagine di argomenti per fare queste equivalenze. Nessuno mostrerà tuttavia un'etichetta canonica. È molto più difficile (NP-difficile se ricordo). Anche se NAutY e Traces gestiscono rapidamente molti esempi. $G\cong H$ $\phi:G\to H$ $G\not\cong H$

— Algeboy
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