Perché il secondo teorema di incompletezza di Godel non esclude una dimostrazione formalizzabile di P! = NP?

Sono sicuro che ci deve essere qualcosa di sbagliato nel seguente ragionamento perché altrimenti molta ricerca P vs. NP sarebbe ridotta ma non posso determinare il mio errore:

Per qualsiasi numero intero fisso definire $k>0$

B_{k} := {⟨ φ ⟩ | φ is a wff of ZF and has a proof of length \leq k {| φ |}^{k}}

$B_k := \{ \langle \varphi \rangle | \; \varphi \; \text{is a wff of ZF and has a proof of length} \; \leq k{|\varphi|}^k \; \}$

Ora per tutti i , la lingua è in NP poiché una prova valida per di lunghezza può essere un testimone NP verificato da un correttore di prove automatizzato in tempo polinomiale. Inoltre, per sufficientemente grande , è NP completo poiché SAT lo riduce: cioè, per un'istanza di SAT, crea un corrispondente wff di ZF usando quantificatori esistenziali. Quindi una soddisfacente assegnazione di verità di può essere trasformata in una prova formale di di lunghezza polinomiale inpoiché un incarico di verità di $k$ $B_k$ $\varphi$ $\leq k{|\varphi|}^k$ $k$ $B_k$ $\phi$ $\varphi$ $\phi$ $\varphi$ $|\varphi|$ $\phi$ è lineare in. $|\phi|$

Ora, se ZF è incoerente, ciò significa che esiste un'istruzione formale tale che sia che hanno prove in ZF. Come è noto, qualsiasi altra affermazione può quindi essere derivata dalla congiunzione contraddittoria (ovvero seguendo il percorso: $\sigma$ $\sigma$ $\neg \sigma$ $\tau$ $\langle \sigma \wedge \neg \sigma \rangle$

⟨ σ \land \neg σ ⟩ ⟹ both σ and \neg σ are true ⟹ ⟨ \neg τ \to σ ⟩ is true (since regardless of τ the implication is valid since σ is true) ⟹ ⟨ \neg σ \to τ ⟩ (by contraposition and double negation) ⟹ τ is true (by modus ponens with \neg σ)

$\langle \sigma \wedge \neg \sigma \rangle \implies \text{both} \; \sigma \; \text{and} \; \neg \sigma \; \text{are true} \implies \langle \neg \tau \rightarrow \sigma \rangle \; \text{is true (since regardless of} \; \tau \; \text{the implication is valid since} \; \sigma \; \text{is true)} \implies \langle \neg \sigma \rightarrow \tau \rangle \; \text{(by contraposition and double negation)} \implies \tau \; \text{ is true (by modus ponens with} \; \neg \sigma \, )$

). Quindi se ZF è incoerente, allora ogni affermazione ha un polinomio di prova (mi sembra anche solo lineare) in. $\varphi$ $|\varphi|$

Sia per un sufficientemente grande di cui sopra per consentire che sia NP-completo. Quindi se ZF è incoerente, ci sono solo fin troppi tali che perché la tolleranza di lunghezza a prova polinomiale di alto grado di è sufficiente per coprire le brevi prove garantite di wff di lunghezza sufficiente. Ciò implica che è decidibile nel tempo polinomiale che per sua completezza NP implica che P = NP. Se riformuliamo questa catena di ragionamento in termini di contrapposizioni, se P! = NP allora ZF non è incoerente (cioè è coerente). $B:=B_k$ $k$ $B$ $\varphi$ $\langle \varphi \rangle \notin B$ $B$ $B$

Pertanto, se abbiamo una prova formale di P! = NP, allora abbiamo una prova formale della coerenza di ZF. Ma dal teorema della seconda incompletezza di Godel, questo implica che ZF è incoerente che a sua volta ottiene P = NP come indicato sopra (così come la teorema di qualsiasi teorema negato).

Questa non è esattamente una prova che P vs. NP è indipendente da ZF. Potrebbe essere che ZF sia coerente e che P = NP o che P! = NP possano essere dimostrati attraverso tecniche non formalizzabili all'interno di ZF. Tuttavia, presenta un'altra formidabile barriera alla risoluzione di P vs. NP.

— Ari
fonte

Risposte:

Sembra esserci un difetto, come accennato da Arno nella sua risposta. Mentre la riduzione sembra abbastanza innocua (ed è davvero un esercizio da manuale come sottolineato da Ariel nel suo commento) assume implicitamente la coerenza di ZF. Altrimenti, se ZF è incoerente, poiché ogni affermazione di ZF avrebbe una dimostrazione, le istanze SAT insoddisfacenti non sarebbero necessariamente mappate su wffs che non hanno una dimostrazione relativamente breve. $SAT \leq B$ $\varphi$

Pertanto, se assumiamo che ZF sia coerente e anche se possiamo concludere in modo metamatematico che (poiché essendo NP-completo, non potrebbe essere in poiché stiamo assumendo ) non avremmo una deduzione formale di (poiché questo dipende dal fatto che sia un insieme NP completo stabilito, quindi se vogliamo usare la riduzione sopra, dobbiamo supporre che ZF sia coerente, il che non può essere formalmente affermato dal secondo teorema di incompletezza di Godel). Pertanto, questo argomento non può suggerire le implicazioni necessarie di . $ZF \vdash P \neq NP$ $B \notin P$ $B$ $P$ $P \neq NP$ $ZF \vdash B \notin P$ $B$ $ZF \vdash P \neq NP$

— Ari
fonte

Buon lavoro! questo sembra essere il problema.

— Ariel,

Il problema è nella tua affermazione che per sufficientemente grande , la lingua è NP-completa. Nella riduzione proposta, si sostiene solo che qualsiasi istanza SAT soddisfacente è di una formula ZF con prova "breve". Tuttavia, devi anche sostenere che ogni volta che la formula ZF risultante ha una breve prova, l'istanza SAT originale è soddisfacente. Questo ovviamente si riduce a dire che se ZF dimostra che l'istanza SAT è soddisfacente, allora lo è davvero - ma qui stiamo usando la solidità di ZF. $k$ $B_k$

— Arno
fonte

Hai ragione sul fatto che presumo implicitamente la solidità di ZF e la correttezza di un correttore di prove, ma in che modo ciò influisce sulla prova che è NP-completo? Questi sono solo presupposti necessari affinché la lingua sia di qualche interesse. Sotto la mia riduzione, solo un'istanza SAT soddisfacente avrà una prova di qualsiasi lunghezza perché una insoddisfacente corrisponde a un'istruzione ZF che è falsa.

B_{k}

$B_k$

B_{k}

$B_k$

— Ari,

@Ari Le istanze SAT insoddisfacenti corrispondono a dichiarazioni ZF false nella tua meta-teoria. Pertanto, affinché la riduzione funzioni, è necessario che le false dichiarazioni ZF non dispongano di una prova ZF.

— Arno,

L'equivalenza è chiara, se la formula ha una prova allora l'istanza SAT è soddisfacente (ZF è valido, non vedo perché questo dovrebbe essere un ostacolo qui). Vedi questa domanda per una prova della sua completezza NP.

— Ariel,

@Ariel La risposta a questa domanda è imprecisa su quali siano le ipotesi. Bisogna necessariamente supporre che ZF sia valido. Solo il promemoria: "Suono" significa che se un'affermazione ha una prova, allora è effettivamente vera. Se ZF è incoerente, allora dimostra tutto, e quindi non può essere valido. In particolare, vediamo che "ZF è suono" non è un teorema di ZF. Se la nostra meta-teoria dimostra che "ZF è valido", allora dimostra anche che "ZF è coerente" e non vi è alcun problema. Se non lo dimostra, allora non abbiamo la prova di completezza NP e non vi è alcun problema.

— Arno,

La correttezza della riduzione si basa infatti sulla coerenza di ZF, tuttavia non ha nulla a che fare con la solidità. Ricordiamo che la solidità è definita in relazione ad alcune semantiche e che ZF è sana nel senso che le affermazioni dimostrabili sono vere in tutti i modelli, se ZF è incoerente che è vagamente sano in quanto non ha modelli.

— Ariel,