Scrivere un numero come due quadrati e scrivere i fattori di un numero è altrettanto difficile?

Lascia che e siano i seguenti: $L_1$ $L_2$

$L_1=\{r:\exists x,y \in \mathbb{Z} \text{ such that } x^2+y^2=r\}$

$L_2=\{(N,M): M<N, \exists 1<d\leq M \text{ such that d|N} \}$

Richiedi $L_1 \leq_P L_2$

Prova di schizzo

Se voglio sapere se . $r\in L_1$

Il numero di soluzioni intere per è dato da $x^2+y^2=r$

$g(r)=\sum_{d|r}{\chi{(d)}}$ dove $\chi (x)=sin(\frac{\pi x}{2})=\cases{ 1\text{ when }x\cong 1 \text{ mod }4 \\ -1 \text{ when }x\cong 3 \text{ mod }4 \\ 0 \text{ when } 2|x }$

Quindi . Quindi, rispondere è " ?" è al massimo difficile rispondere come "quali sono i divisori di ?" $L_1=\{r: g(r)\neq 0\}$ $r\in L_1$ $r$

$\square$

Quello che vorrei sapere è se questo è vero il contrario. È vero che se avessi una macchina che potrebbe dirmi in tempo costante se potrei creare una macchina che potrebbe rispondere "is ?" in tempo polinomiale? $r\in L_1$ $(M,N)\in L_2$

motivazioni

Questa domanda è nata da una discussione su questa domanda .

Scuse Sono davvero solo un membro math.se che ha ottenuto perso e vagò a cs.se. Fammi sapere se la mia domanda è chiara e conforme agli standard di questo sito. Sono felice di apportare correzioni.

complexity-theory time-complexity np decision-problem

— Muratore
fonte

Sto usando correttamente?

\leq_{P}

$\leq_P$

— Mason,

La tua riduzione è corretta, ma la tua conclusione che è "dura quanto" non è corretta. solo che è al massimo duro come . In particolare, in realtà mostri che è al massimo difficile come un caso molto limitato di , il che potrebbe essere molto semplice.

L_{1} \leq_{p} L_{2}

$L_1\le_p L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

L_{1}

$L_1$

L_{2}

$L_2$

— Shaull

Invece di "soddisfare un cerchio", un termine migliore potrebbe essere "essere una somma di due quadrati".

— Yuval Filmus,

@Shaull, ho cambiato un po 'di lingua per riflettere il tuo commento.

— Mason,

Il calcolo è infatti noto per essere duro come il factoring, fino a una riduzione del tempo polinomiale randomizzata. Vedi Bach, Miller e Shallit: somme di divisori, numeri perfetti e factoring .

\sum_{d ∣ n} d

$\sum_{d\mid n}d$

— Emil Jeřábek,

Ecco la situazione per quanto posso dire:

Il modo più efficiente noto per testare l'appartenenza a è il fattore . Nessun algoritmo più efficiente sembra essere noto. $L_1$ $r$

Tuttavia, non vi è alcuna riduzione evidente per dimostrare . In altre parole, se avessimo una macchina per decidere , non c'è modo semplice di usarlo per fattorizzare. Se vogliamo fattorizzare un numero , siamo in grado di verificare se , ma questo ci dà solo un po 'di informazioni circa i fattori di . Testare multipli di (ovvero se per un numero intero ) non ci fornisce ulteriori informazioni, poiché sapere se sufficiente per prevedere se per tutti $L_2 \le_P L_1$ $L_1$ $N$ $N \in L_1$ $N$ $N$ $cN \in L_1$ $c$ $N \in L_1$ $cN \in L_1$ $c>0$ . Anche testare altri numeri non sembra aiutare in alcun modo ovvio. (Verifica se per qualche altro numero non sembra fornire alcuna informazione utile, se ; e se avessimo un modo per trovare un altro numero tale che , sapremmo già come fattore, ma ovviamente non sappiamo come farlo - quindi è improbabile che qualsiasi numero che sappiamo come generare ci dia qualche utile informazioni sui fattori di ) Questa non è una prova; è solo un'intuizione a mano. $N' \in L_1$ $N'$ $\gcd(N,N') =1$ $N'$ $\gcd(N,N')\ne 1$ $N$

Quindi sembra plausibile che possa essere più facile di e sembra anche plausibile che possano avere le stesse difficoltà. Non sono a conoscenza di ulteriori risultati su questo argomento. $L_1$ $L_2$

— DW
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